A posição de uma particula no eixo é dada por , com em metros segundos. Como a posição depende do tempo , a particula deve estar cm movimento. (a) Determine a funçăo velocidade e a função aceleração da particula. (b) Existe algum instante para o qual ? © Faça um gráfico de diga o que acontece em .
Resposta: (a) (b) .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula no eixo dada pela função , onde está em metros e em segundos. Nosso objetivo aqui é:
a) Encontrar as funções de velocidade e aceleração da partícula.
b) Verificar se existe algum instante em que a velocidade é igual a zero.
c) Fazer um gráfico de em função de e analisar o que acontece quando .
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos permitem encontrar a velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada termo de :
  • A derivada de em relação a é (constante).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Portanto,

Passo 4

Passando para a parte (b), queremos saber se existe algum instante em que a velocidade é igual a zero. Ou seja, resolveremos a equação:
Substituindo :
Vamos resolver para :
  1. Adicione aos dois lados:
  1. Divida ambos os lados por :
  1. Tire a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, a velocidade é zero em e . Como estamos lidando com tempo, geralmente consideramos apenas .

Passo 5

Para a parte ©, vamos fazer um gráfico de em função de usando a função . Observando o gráfico, podemos analisar o comportamento da partícula em .
Ao substituir na função posição:
Isso significa que, em , a partícula está na posição .

Resposta

(a) e ;
(b) A velocidade é zero em .

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Resposta: (a) ; (b) ; © ;
(d) .
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Resposta: (a) ; (b) 250 m ; ©