A posição de uma particula no eixo
é dada por
, com
em metros
segundos. Como a posição
depende do tempo
, a particula deve estar cm movimento. (a) Determine a funçăo velocidade
e a função aceleração
da particula. (b) Existe algum instante para o qual
? © Faça um gráfico de
diga o que acontece em
.
Resposta: (a)
(b)
.
Resposta: (a)
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula no eixo
dada pela função
, onde
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo aqui é:
a) Encontrar as funções de velocidade
e aceleração
da partícula.
b) Verificar se existe algum instante em que a velocidade
é igual a zero.
c) Fazer um gráfico de
em função de
e analisar o que acontece quando
.
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos permitem encontrar a velocidade e aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Vamos derivar cada termo de
:
- A derivada de
em relação a é (constante). - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 3
Agora, para encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto,
Passo 4
Passando para a parte (b), queremos saber se existe algum instante em que a velocidade
é igual a zero. Ou seja, resolveremos a equação:
Substituindo
:
Vamos resolver para
:
- Adicione
aos dois lados:
- Divida ambos os lados por
:
- Tire a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, a velocidade é zero em
e
. Como estamos lidando com tempo, geralmente consideramos apenas
.
Passo 5
Para a parte ©, vamos fazer um gráfico de
em função de
usando a função
. Observando o gráfico, podemos analisar o comportamento da partícula em
.
Ao substituir
na função posição:
Isso significa que, em
, a partícula está na posição
.
Resposta
(a)
e
;
(b) A velocidade é zero em
.