A posição de uma particula no eixo x é dada por x(t)=4-27 t+t^3, com x em metros e t em segundos. Como a posição x depende do tempo t, a particula deve estar cm movimento. (a) Determine a funçăo velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da particula. (b) Existe algum instante para o qual v=0 ? © Faça um gráfico de (x times t) e diga o que acontece em t=3 s.
Resposta: (a) v(t)=-27+3 t^2 ; a(t)=6 t ; (b) t= pm 3 s.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula no eixo x dada pela função x(t) = 4 - 27t + t^3, onde x está em metros e t em segundos. Nosso objetivo aqui é:
a) Encontrar as funções de velocidade v(t) e aceleração a(t) da partícula.
b) Verificar se existe algum instante em que a velocidade v é igual a zero.
c) Fazer um gráfico de x em função de t e analisar o que acontece quando t = 3,s.
Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos permitem encontrar a velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função velocidade v(t). A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Vamos derivar cada termo de x(t) = 4 - 27t + t^3:
  • A derivada de 4 em relação a t é 0 (constante).
  • A derivada de -27t é -27.
  • A derivada de t^3 é 3t^2.
Então,
v(t) = 0 - 27 + 3t^2 = -27 + 3t^2

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração a(t), que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Vamos derivar v(t) = -27 + 3t^2:
  • A derivada de -27 é 0.
  • A derivada de 3t^2 é 6t.
Portanto,
a(t) = 0 + 6t = 6t

Passo 4

Passando para a parte (b), queremos saber se existe algum instante em que a velocidade v(t) é igual a zero. Ou seja, resolveremos a equação:
v(t) = 0
Substituindo v(t):
-27 + 3t^2 = 0
Vamos resolver para t:
  1. Adicione 27 aos dois lados:
3t^2 = 27
  1. Divida ambos os lados por 3:
t^2 = 9
  1. Tire a raiz quadrada de ambos os lados:
t = pm 3,s
Então, a velocidade é zero em t = 3,s e t = -3,s. Como estamos lidando com tempo, geralmente consideramos apenas t = 3,s.

Passo 5

Para a parte ©, vamos fazer um gráfico de x em função de t usando a função x(t) = 4 - 27t + t^3. Observando o gráfico, podemos analisar o comportamento da partícula em t = 3,s.
Ao substituir t = 3,s na função posição:
x(3) = 4 - 27(3) + (3)^3 = 4 - 81 + 27 = -50,m
Isso significa que, em t = 3,s, a partícula está na posição -50,m.

Resposta

(a) v(t) = -27 + 3t^2 e a(t) = 6t;
(b) A velocidade é zero em t = pm3,s.

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