Considere uma modificação na força de Coulomb na forma
F=q1 q24 pi varepsilon0(1r^2+betar^3) r
com beta sendo uma constante. Use a quantização de Bohr e obtenha expressões para a energia de um átomo de Hidrogênio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma modificação na força de Coulomb, que é a força elétrica entre duas cargas. A fórmula dada é:
F=q1 q24 pi varepsilon0(1r^2+betar^3) r
Aqui, beta é uma constante que ajusta a força. Nosso objetivo é usar a quantização de Bohr para encontrar as expressões para a energia de um átomo de Hidrogênio com essa força modificada. Para isso, vamos precisar entender a estrutura do modelo de Bohr e como a força afeta a energia dos níveis eletrônicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo e a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força elétrica. A quantização de Bohr impõe que o momento angular do elétron seja um múltiplo inteiro de hbar:
me v r = n hbar
onde me é a massa do elétron, v é a velocidade, r é o raio da órbita e n é um número inteiro positivo.

Passo 3

Agora, substituímos a força modificada na equação da força centrípeta. A força centrípeta é dada por:
me v^2r = q1 q24 pi varepsilon0(1r^2+betar^3)
Vamos assumir que q1 = e e q2 = -e para o átomo de Hidrogênio, então temos:
me v^2r = e^24 pi varepsilon0(1r^2+betar^3)

Passo 4

Usando a condição de quantização de Bohr, podemos expressar v em termos de n:
v = n hbarme r
Substituímos isso na equação da força centrípeta:
me (n hbarme r)^2r = e^24 pi varepsilon0(1r^2+betar^3)
Simplificando:
n^2 hbar^2me r^3 = e^24 pi varepsilon0(1r^2+betar^3)

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por r^3 para simplificar:
n^2 hbar^2me = e^24 pi varepsilon0 (r + beta)
Agora, isolamos r:
r = n^2 hbar^2me cdot 4 pi varepsilon0e^2 - beta
Então, o raio da órbita fica:
r = 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia total do elétron, que é a soma da energia cinética (EC) e da energia potencial (EP). Sabemos que:
EC = 12 me v^2
E a energia potencial para a força modificada é:
EP = -e^24 pi varepsilon0 ( 1r + beta2 r^2 )

Passo 7

Substituímos v da quantização de Bohr na expressão da energia cinética:
EC = 12 me ( n hbarme r )^2 = n^2 hbar^22 me r^2
Agora, substituímos o valor de r que encontramos:
EC = n^2 hbar^22 me ( 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta )^2
Isso pode ser simplificado, mas para termos uma expressão geral da energia, vamos manter dessa forma.

Passo 8

Agora, juntamos as energias cinética e potencial para obter a energia total:
E = EC + EP = n^2 hbar^22 me r^2 - e^24 pi varepsilon0 ( 1r + beta2 r^2 )
Substituindo r:
E = n^2 hbar^22 me ( 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta )^2 - e^24 pi varepsilon0 ( 14 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta + beta2 ( 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta )^2 )

Resposta

A expressão para a energia de um átomo de Hidrogênio, usando a quantização de Bohr com a força modificada, é:
E = n^2 hbar^22 me ( 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta )^2 - e^24 pi varepsilon0 ( 14 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta + beta2 ( 4 pi varepsilon0 hbar^2me e^2 n^2 - beta )^2 )

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