Considere uma modificação na força de Coulomb na forma
sendo uma constante. Use a quantização de Bohr e obtenha expressões para a energia de um átomo de Hidrogênio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma modificação na força de Coulomb, que é a força elétrica entre duas cargas. A fórmula dada é:
Aqui,
é uma constante que ajusta a força. Nosso objetivo é usar a quantização de Bohr para encontrar as expressões para a energia de um átomo de Hidrogênio com essa força modificada. Para isso, vamos precisar entender a estrutura do modelo de Bohr e como a força afeta a energia dos níveis eletrônicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o elétron se move em órbitas circulares ao redor do núcleo e a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força elétrica. A quantização de Bohr impõe que o momento angular do elétron seja um múltiplo inteiro de
:
onde
é a massa do elétron,
é a velocidade,
é o raio da órbita e
é um número inteiro positivo.
Passo 3
Agora, substituímos a força modificada na equação da força centrípeta. A força centrípeta é dada por:
Vamos assumir que
e
para o átomo de Hidrogênio, então temos:
Passo 4
Usando a condição de quantização de Bohr, podemos expressar
em termos de
:
Substituímos isso na equação da força centrípeta:
Simplificando:
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
para simplificar:
Agora, isolamos
:
Então, o raio da órbita fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia total do elétron, que é a soma da energia cinética (EC) e da energia potencial (EP). Sabemos que:
E a energia potencial para a força modificada é:
Passo 7
Substituímos
da quantização de Bohr na expressão da energia cinética:
Agora, substituímos o valor de
que encontramos:
Isso pode ser simplificado, mas para termos uma expressão geral da energia, vamos manter dessa forma.
Passo 8
Agora, juntamos as energias cinética e potencial para obter a energia total:
Substituindo
:
Resposta
A expressão para a energia de um átomo de Hidrogênio, usando a quantização de Bohr com a força modificada, é: