Mostre que a energia do fóton espalhado no efeito Compton é dada por
e calcule a energia perdida por um fóton nas seguintes situações:
(a) Espalhamento Compton a .
(b) Dois espalhamentos seguidos de .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com o efeito Compton, que é um fenômeno da física que descreve como a luz (fótons) interage com elétrons. Precisamos mostrar que a energia do fóton espalhado é dada pela fórmula:
Depois, vamos calcular a energia perdida por um fóton em duas situações específicas:
(a) Quando o espalhamento ocorre a .
(b) Quando há dois espalhamentos seguidos de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre quantidade de movimento e como a energia do fóton muda durante o espalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um fóton tem energia e quantidade de movimento , que estão relacionadas por:
Onde é a velocidade da luz. Também, a quantidade de movimento do fóton pode ser expressa como:

Passo 3

No efeito Compton, um fóton colide com um elétron inicialmente em repouso. Após a colisão, o fóton tem uma nova energia e é espalhado com um ângulo . O elétron também ganha uma certa quantidade de energia e se move com uma nova velocidade.
Vamos usar a conservação da quantidade de movimento e da energia para relacionar , , e .

Passo 4

A conservação da energia nos diz que a energia inicial do sistema é igual à energia final:
Onde:
  • é a energia do fóton antes da colisão.
  • é a energia de repouso do elétron.
  • é a energia do fóton após a colisão.
  • é a energia total do elétron após a colisão.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Como o fóton é uma partícula sem massa, sua quantidade de movimento é . Considerando que a direção do fóton espalhado forma um ângulo com a direção original, temos duas componentes de quantidade de movimento para considerar:
Na direção inicial:
Perpendicular à direção inicial:
Onde é a quantidade de movimento do elétron após a colisão e é o ângulo de movimento do elétron.

Passo 6

Resolvendo essas equações, após algumas manipulações (que envolvem substituir e em termos de e ), chegamos à fórmula do efeito Compton:
Essa equação nos mostra como a energia do fóton espalhado depende da energia inicial , do ângulo de espalhamento , e da energia de repouso do elétron .

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia perdida pelo fóton nas duas situações específicas.
(a) Espalhamento Compton a :
Substituímos na fórmula:
Sabemos que , então:
A energia perdida é:
Simplificando:

Passo 8

(b) Dois espalhamentos seguidos de :
Vamos considerar que o fóton sofre dois espalhamentos, cada um com .
Após o primeiro espalhamento:
Como :
Agora, o fóton espalhado com energia sofre um segundo espalhamento de :
Substituindo :
A energia perdida total após os dois espalhamentos é:

Resposta

Aplicando a fórmula, a energia perdida pelo fóton nas duas situações é:
(a) Para espalhamento a :
(b) Para dois espalhamentos seguidos de :
Ou seja, em ambos os casos, a energia perdida pelo fóton é a mesma e dada por .

Exercícios relacionados

Quais os níveis de energia de uma partícula de massa se movendo numa órbita circular na presença de um potencial ?
A parte do cilindro que está acima do retângulo com vértices, e
Considere uma modificação na força de Coulomb na forma
sendo uma constante. Use a quantização de Bohr e obtenha expressões para a energia de um átomo de Hidrogênio.
Uma partícula não relativística de massa está sujeita a um potencial unidimensional na forma , sendo uma constante positiva. Estime a mínima energia dessa partícula em termos de e da constante de Planck.