Mostre que a energia do fóton espalhado no efeito Compton é dada por
e calcule a energia perdida por um fóton nas seguintes situações:
(a) Espalhamento Compton a
.
(b) Dois espalhamentos seguidos de
.
(a) Espalhamento Compton a
(b) Dois espalhamentos seguidos de
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com o efeito Compton, que é um fenômeno da física que descreve como a luz (fótons) interage com elétrons. Precisamos mostrar que a energia do fóton espalhado
é dada pela fórmula:
Depois, vamos calcular a energia perdida por um fóton em duas situações específicas:
(a) Quando o espalhamento ocorre a .
(b) Quando há dois espalhamentos seguidos de .
(a) Quando o espalhamento ocorre a
(b) Quando há dois espalhamentos seguidos de
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre quantidade de movimento e como a energia do fóton muda durante o espalhamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um fóton tem energia
e quantidade de movimento
, que estão relacionadas por:
Onde
é a velocidade da luz. Também, a quantidade de movimento do fóton pode ser expressa como:
Passo 3
No efeito Compton, um fóton colide com um elétron inicialmente em repouso. Após a colisão, o fóton tem uma nova energia
e é espalhado com um ângulo
. O elétron também ganha uma certa quantidade de energia e se move com uma nova velocidade.
Vamos usar a conservação da quantidade de movimento e da energia para relacionar
,
, e
.
Passo 4
A conservação da energia nos diz que a energia inicial do sistema é igual à energia final:
Onde:
-
é a energia do fóton antes da colisão. -
é a energia de repouso do elétron. -
é a energia do fóton após a colisão. -
é a energia total do elétron após a colisão.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Como o fóton é uma partícula sem massa, sua quantidade de movimento é
. Considerando que a direção do fóton espalhado forma um ângulo
com a direção original, temos duas componentes de quantidade de movimento para considerar:
Na direção inicial:
Perpendicular à direção inicial:
Onde
é a quantidade de movimento do elétron após a colisão e
é o ângulo de movimento do elétron.
Passo 6
Resolvendo essas equações, após algumas manipulações (que envolvem substituir
e
em termos de
e
), chegamos à fórmula do efeito Compton:
Essa equação nos mostra como a energia do fóton espalhado
depende da energia inicial
, do ângulo de espalhamento
, e da energia de repouso do elétron
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia perdida pelo fóton nas duas situações específicas.
(a) Espalhamento Compton a
:
Substituímos
na fórmula:
Sabemos que
, então:
A energia perdida
é:
Simplificando:
Passo 8
(b) Dois espalhamentos seguidos de
:
Vamos considerar que o fóton sofre dois espalhamentos, cada um com
.
Após o primeiro espalhamento:
Como
:
Agora, o fóton espalhado com energia
sofre um segundo espalhamento de
:
Substituindo
:
A energia perdida total
após os dois espalhamentos é:
Resposta
Aplicando a fórmula, a energia perdida pelo fóton nas duas situações é:
(a) Para espalhamento a
:
(b) Para dois espalhamentos seguidos de
:
Ou seja, em ambos os casos, a energia perdida pelo fóton é a mesma e dada por
.
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