Mostre que a energia do fóton espalhado no efeito Compton é dada por
E^prime=E1+Em0 c^2(1-cos theta)
e calcule a energia perdida por um fóton nas seguintes situações:
(a) Espalhamento Compton a 180^circ.
(b) Dois espalhamentos seguidos de 90^circ.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com o efeito Compton, que é um fenômeno da física que descreve como a luz (fótons) interage com elétrons. Precisamos mostrar que a energia do fóton espalhado E^prime=E1+Em0 c^2(1-cos theta) é dada pela fórmula:
Depois, vamos calcular a energia perdida por um fóton em duas situações específicas:
(a) Quando o espalhamento ocorre a .
(b) Quando há dois espalhamentos seguidos de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre quantidade de movimento e como a energia do fóton muda durante o espalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um fóton tem energia E = p c e quantidade de movimento p = Ec , que estão relacionadas por:
Onde é a velocidade da luz. Também, a quantidade de movimento do fóton pode ser expressa como:

Passo 3

No efeito Compton, um fóton colide com um elétron inicialmente em repouso. Após a colisão, o fóton tem uma nova energia e é espalhado com um ângulo . O elétron também ganha uma certa quantidade de energia e se move com uma nova velocidade.
Vamos usar a conservação da quantidade de movimento e da energia para relacionar , , e .

Passo 4

A conservação da energia nos diz que a energia inicial do sistema é igual à energia final:
E + m0 c^2 = E' + Ee
Onde:
  • é a energia do fóton antes da colisão.
  • é a energia de repouso do elétron.
  • é a energia do fóton após a colisão.
  • é a energia total do elétron após a colisão.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento. Como o fóton é uma partícula sem massa, sua quantidade de movimento é Ec = E'c cos theta + pe cos phi . Considerando que a direção do fóton espalhado forma um ângulo 0 = E'c sin theta - pe sin phi com a direção original, temos duas componentes de quantidade de movimento para considerar:
Na direção inicial:
Perpendicular à direção inicial:
Onde é a quantidade de movimento do elétron após a colisão e é o ângulo de movimento do elétron.

Passo 6

Resolvendo essas equações, após algumas manipulações (que envolvem substituir E^prime=E1+Em0 c^2(1-cos theta) e em termos de e ), chegamos à fórmula do efeito Compton:
Essa equação nos mostra como a energia do fóton espalhado depende da energia inicial , do ângulo de espalhamento , e da energia de repouso do elétron .

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia perdida pelo fóton nas duas situações específicas.
(a) Espalhamento Compton a E^prime=E1+Em0 c^2(1-cos 180^circ) :
Substituímos E^prime=E1+Em0 c^2(1-(-1)) = E1+2Em0 c^2 na fórmula:
De
Sabemos que De, então:
A energia perdida é:
Simplificando:

Passo 8

(b) Dois espalhamentos seguidos de E'1 = E1+Em0 c^2(1-cos 90^circ) :
Vamos considerar que o fóton sofre dois espalhamentos, cada um com E'1 = E1+Em0 c^2 .
Após o primeiro espalhamento:
E'2 = E'11+E'1m0 c^2(1-cos 90^circ) = E'11+E'1m0 c^2
Como E'2 = E1+Em0 c^21+E1+Em0 c^2m0 c^2 = E1+Em0 c^2 + Em0 c^2 = E1+2Em0 c^2 :
De
Agora, o fóton espalhado com energia sofre um segundo espalhamento de :
Substituindo :
A energia perdida total após os dois espalhamentos é:

Resposta

Aplicando a fórmula, a energia perdida pelo fóton nas duas situações é:
(a) Para espalhamento a De:
De
(b) Para dois espalhamentos seguidos de :
Ou seja, em ambos os casos, a energia perdida pelo fóton é a mesma e dada por .

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