Uma partícula não relativística de massa m está sujeita a um potencial unidimensional na forma V(x)=alpha x, sendo alpha uma constante positiva. Estime a mínima energia dessa partícula em termos de m, alpha e da constante de Planck.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa m que não está se movendo a velocidades próximas à da luz (não relativística). Ela está num potencial unidimensional que cresce linearmente com a posição, dado por V(x) = alpha x, onde alpha é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é estimar a menor energia que essa partícula pode ter, usando m, alpha e a constante de Planck, hbar. Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio da incerteza de Heisenberg e conceitos básicos de energia cinética e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber exatamente a posição ( De) e o momento ( De) de uma partícula ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Isso significa que se sabemos mais sobre a posição, sabemos menos sobre o momento, e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a energia da partícula. A energia total E da partícula é a soma da energia cinética ( Ecin) e da energia potencial ( Epot):
E = Ecin + Epot
A energia cinética pode ser aproximada por:
Ecin approx (De
E a energia potencial, já que V(x) = alpha x, fica:
Epot approx alpha De

Passo 4

Então, a energia total fica:
E = (De
Mas lembrando do princípio da incerteza, podemos expressar De em termos de De:
Para uma estimativa, vamos considerar a igualdade:
De

Passo 5

Substituindo De na expressão da energia:
E = (hbar2 De
Simplificando:
E = hbar^28m (De

Passo 6

Queremos encontrar a mínima energia, então vamos derivar E em relação a De e igualar a zero:
dEdDe
Resolvendo para De:
hbar^24m (De

Passo 7

Agora, substituímos De de volta na expressão da energia:
E = hbar^28m (hbar^24m alpha)^2/3 + alpha (hbar^24m alpha)^1/3
Simplificando os termos:
Fatorando e simplificando:
Continuando a simplificação:
E = hbar^2 cdot (4malpha)^2/38m hbar^4/3 + alpha cdot (hbar^24m alpha)^1/3 E = (4malpha)^2/3 hbar^2 - 4/38m + alpha cdot hbar^2/3(4m alpha)^1/3 E = (4malpha)^2/3 hbar^2/38m + alpha hbar^2/3(4m alpha)^1/3

Resposta

A mínima energia da partícula é proporcional a:
Emin sim hbar^2/3 , m^-1/3 , alpha^2/3

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