Uma partícula não relativística de massa
está sujeita a um potencial unidimensional na forma
, sendo
uma constante positiva. Estime a mínima energia dessa partícula em termos de
e da constante de Planck.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa
que não está se movendo a velocidades próximas à da luz (não relativística). Ela está num potencial unidimensional que cresce linearmente com a posição, dado por
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é estimar a menor energia que essa partícula pode ter, usando
,
e a constante de Planck,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio da incerteza de Heisenberg e conceitos básicos de energia cinética e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber exatamente a posição (
) e o momento (
) de uma partícula ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Isso significa que se sabemos mais sobre a posição, sabemos menos sobre o momento, e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a energia da partícula. A energia total
da partícula é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
A energia cinética pode ser aproximada por:
E a energia potencial, já que
, fica:
Passo 4
Então, a energia total fica:
Mas lembrando do princípio da incerteza, podemos expressar
em termos de
:
Para uma estimativa, vamos considerar a igualdade:
Passo 5
Substituindo
na expressão da energia:
Simplificando:
Passo 6
Queremos encontrar a mínima energia, então vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão da energia:
Simplificando os termos:
Fatorando e simplificando:
Continuando a simplificação:
Resposta
A mínima energia da partícula é proporcional a:
Exercícios relacionados
Considere uma modificação na força de Coulomb na forma
Mostre que a energia do fóton espalhado no efeito Compton é dada por
e calcule a energia perdida por um fóton nas seguintes situações:
(a) Espalhamento Compton a .
(b) Dois espalhamentos seguidos de .
(a) Espalhamento Compton a
(b) Dois espalhamentos seguidos de
A radiação Hawking é a radiação de corpo negro que está prevista para ser liberada por buracos negros, devido aos efeitos quânticos próximos ao horizonte de eventos. A radiação Hawking reduz a massa e a energia dos buracos negros e, portanto, também é conhecida como evaporação dos buracos negros. Por causa disso, espera-se que os buracos negros que não ganham massa através de outros meios diminuam e finalmente desapareçam.
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa , é a velocidade da luz,
.
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa do buraco e do conjunto de constantes fundamentais
e
, sabendo que a temperatura é inversamente proporcional à massa
. (Nota: a constante adimensional pode ser feita
).
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
(d) Fazendo a constante de integração igual a zero, mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck,
.
Em um de íon
um elétron está em um nível de energia que tem o mesmo raio orbital do estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Qual o nível
do elétron no íon
?