Uma partícula não relativística de massa
está sujeita a um potencial unidimensional na forma
, sendo
uma constante positiva. Estime a mínima energia dessa partícula em termos de
e da constante de Planck.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa
que não está se movendo a velocidades próximas à da luz (não relativística). Ela está num potencial unidimensional que cresce linearmente com a posição, dado por
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é estimar a menor energia que essa partícula pode ter, usando
,
e a constante de Planck,
. Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio da incerteza de Heisenberg e conceitos básicos de energia cinética e potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber exatamente a posição (
) e o momento (
) de uma partícula ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Isso significa que se sabemos mais sobre a posição, sabemos menos sobre o momento, e vice-versa.
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com a energia da partícula. A energia total
da partícula é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
A energia cinética pode ser aproximada por:
E a energia potencial, já que
, fica:
Passo 4
Então, a energia total fica:
Mas lembrando do princípio da incerteza, podemos expressar
em termos de
:
Para uma estimativa, vamos considerar a igualdade:
Passo 5
Substituindo
na expressão da energia:
Simplificando:
Passo 6
Queremos encontrar a mínima energia, então vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão da energia:
Simplificando os termos:
Fatorando e simplificando:
Continuando a simplificação:
Resposta
A mínima energia da partícula é proporcional a: