Uma partícula não relativística de massa está sujeita a um potencial unidimensional na forma , sendo uma constante positiva. Estime a mínima energia dessa partícula em termos de e da constante de Planck.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa que não está se movendo a velocidades próximas à da luz (não relativística). Ela está num potencial unidimensional que cresce linearmente com a posição, dado por , onde é uma constante positiva. Nosso objetivo aqui é estimar a menor energia que essa partícula pode ter, usando , e a constante de Planck, . Para resolver isso, vamos precisar usar o princípio da incerteza de Heisenberg e conceitos básicos de energia cinética e potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber exatamente a posição ( ) e o momento ( ) de uma partícula ao mesmo tempo. A relação é dada por:
Isso significa que se sabemos mais sobre a posição, sabemos menos sobre o momento, e vice-versa.

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com a energia da partícula. A energia total da partícula é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ):
A energia cinética pode ser aproximada por:
E a energia potencial, já que , fica:

Passo 4

Então, a energia total fica:
Mas lembrando do princípio da incerteza, podemos expressar em termos de :
Para uma estimativa, vamos considerar a igualdade:

Passo 5

Substituindo na expressão da energia:
Simplificando:

Passo 6

Queremos encontrar a mínima energia, então vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão da energia:
Simplificando os termos:
Fatorando e simplificando:
Continuando a simplificação:

Resposta

A mínima energia da partícula é proporcional a:

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