A radiação Hawking é a radiação de corpo negro que está prevista para ser liberada por buracos negros, devido aos efeitos quânticos próximos ao horizonte de eventos. A radiação Hawking reduz a massa e a energia dos buracos negros e, portanto, também é conhecida como evaporação dos buracos negros. Por causa disso, espera-se que os buracos negros que não ganham massa através de outros meios diminuam e finalmente desapareçam.
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa , é a velocidade da luz, .
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa do buraco e do conjunto de constantes fundamentais e , sabendo que a temperatura é inversamente proporcional à massa . (Nota: a constante adimensional pode ser feita ).
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
(d) Fazendo a constante de integração igual a zero, mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck, .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está falando sobre buracos negros, mais especificamente sobre o raio de Schwarzschild, que é basicamente a distância do horizonte de eventos onde a velocidade de escape é igual à velocidade da luz. O exercício tem quatro partes:
a) Encontrar o raio de Schwarzschild.
b) Determinar a temperatura da radiação Hawking usando análise dimensional.
c) Mostrar uma relação para a entropia de um buraco negro de Schwarzschild.
d) Demonstrar que essa entropia está relacionada com a área do horizonte de eventos e o comprimento de Planck.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a: Determinar o raio de Schwarzschild.
Primeiro, precisamos entender o que é o raio de Schwarzschild. É a distância do centro de um buraco negro até o horizonte de eventos, onde a velocidade de escape iguala a velocidade da luz .
A fórmula para o raio de Schwarzschild é dada por:
Onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa do buraco negro,
  • é a velocidade da luz.

Passo 3

Parte b: Determinar a temperatura da radiação Hawking usando análise dimensional.
A temperatura da radiação Hawking está inversamente proporcional à massa do buraco negro e envolve as constantes fundamentais , , (constante de Planck reduzida) e (constante de Boltzmann).
Vamos montar a relação dimensional:
Considerando que a constante adimensional é , a temperatura fica:

Passo 4

Parte c: Mostrar que a entropia de um buraco negro de Schwarzschild satisfaz a relação dada.
A relação proposta é:
Para chegar nisso, começamos relacionando a temperatura e a entropia. Sabemos que , onde . Substituindo da parte b:

Passo 5

Parte d: Mostrar que a entropia é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck .
A entropia já expressa na parte c é:
Integramos isso assumindo a constante de integração zero:
Considerando , e sabendo que a área do horizonte de Schwarzschild é:
Então, podemos reescrever a entropia em termos da área:
Onde é o comprimento de Planck. Assim, a entropia é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado de .

Resposta

Através dos passos, determinamos que:
a) O raio de Schwarzschild é .
b) A temperatura da radiação Hawking é .
c) A entropia do buraco negro de Schwarzschild satisfaz .
d) A entropia é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck , ou seja, .

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