A radiação Hawking é a radiação de corpo negro que está prevista para ser liberada por buracos negros, devido aos efeitos quânticos próximos ao horizonte de eventos. A radiação Hawking reduz a massa e a energia dos buracos negros e, portanto, também é conhecida como evaporação dos buracos negros. Por causa disso, espera-se que os buracos negros que não ganham massa através de outros meios diminuam e finalmente desapareçam.
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa
, é a velocidade da luz,
.
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa
do buraco e do conjunto de constantes fundamentais
e
, sabendo que a temperatura é inversamente proporcional à massa
. (Nota: a constante adimensional pode ser feita
).
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
(d) Fazendo a constante de integração igual a zero, mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck,
.
O raio do horizonte de eventos de um buraco negro é o conhecido raio de Schwarszchild, que é o raio para o qual a velocidade de escape,
considerando um buraco negro de massa
(a) Determine o raio de Schwarszchild.
(b) Determine a temperatura da radiação para um buraco de Schwarschild usando argumentos de análise dimensional em termos da massa
© Mostre que a entropia de um buraco negro de Schwarschild satisfaz a relação
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está falando sobre buracos negros, mais especificamente sobre o raio de Schwarzschild, que é basicamente a distância do horizonte de eventos onde a velocidade de escape é igual à velocidade da luz. O exercício tem quatro partes:
a) Encontrar o raio de Schwarzschild.
b) Determinar a temperatura da radiação Hawking usando análise dimensional.
c) Mostrar uma relação para a entropia de um buraco negro de Schwarzschild.
d) Demonstrar que essa entropia está relacionada com a área do horizonte de eventos e o comprimento de Planck.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a: Determinar o raio de Schwarzschild.
Primeiro, precisamos entender o que é o raio de Schwarzschild. É a distância do centro de um buraco negro até o horizonte de eventos, onde a velocidade de escape iguala a velocidade da luz
.
A fórmula para o raio de Schwarzschild
é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do buraco negro, -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Parte b: Determinar a temperatura da radiação Hawking usando análise dimensional.
A temperatura
da radiação Hawking está inversamente proporcional à massa
do buraco negro e envolve as constantes fundamentais
,
,
(constante de Planck reduzida) e
(constante de Boltzmann).
Vamos montar a relação dimensional:
Considerando que a constante adimensional é
, a temperatura fica:
Passo 4
Parte c: Mostrar que a entropia
de um buraco negro de Schwarzschild satisfaz a relação dada.
A relação proposta é:
Para chegar nisso, começamos relacionando a temperatura e a entropia. Sabemos que
, onde
. Substituindo
da parte b:
Passo 5
Parte d: Mostrar que a entropia é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck
.
A entropia
já expressa na parte c é:
Integramos isso assumindo a constante de integração zero:
Considerando
, e sabendo que a área
do horizonte de Schwarzschild é:
Então, podemos reescrever a entropia em termos da área:
Onde é o comprimento de Planck. Assim, a entropia é proporcional à área do horizonte de eventos e inversamente proporcional ao quadrado de
.
Resposta
Através dos passos, determinamos que:
a) O raio de Schwarzschild é
.
b) A temperatura da radiação Hawking é
.
c) A entropia do buraco negro de Schwarzschild satisfaz
.
d) A entropia
é proporcional à área do horizonte de eventos
e inversamente proporcional ao quadrado do comprimento de Planck
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Uma partícula não relativística de massa
está sujeita a um potencial unidimensional na forma
, sendo
uma constante positiva. Estime a mínima energia dessa partícula em termos de
e da constante de Planck.
Considere uma modificação na força de Coulomb na forma
Em um de íon
um elétron está em um nível de energia que tem o mesmo raio orbital do estado fundamental do átomo de Hidrogênio. Qual o nível
do elétron no íon
?
1
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência e massa reduzida
.
Usando o princípio de incerteza de Heisenberg (a) estime o valor do raio e a energia do estado fundamental do átomo de Hidrogênio e (b) o valor da energia de uma molécula diatômica, que pode ser aproximada para um oscilador harmônico de frequência