Um foguete com 1,00 times 10^6 kg tem 1,00 times 10^3 kg de combustível a bordo. O foguete está parado no espaço quando de repente torna-se necessário acelerar. A ignição dos motores do foguete é feita e o combustível de 1,00 times 10^3 kg é consumido. O gás de escape (combustível gasto) é lançado durante um curto intervalo de tempo numa velocidade de 0,500 c em relação a S - o referencial inercial no qual o foguete está inicialmente em repouso.
b) Calcule a velocidade final do foguete uR em relação a S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que pesa 1,00 times 10^6 kg e carrega 1,00 times 10^3 kg de combustível. O foguete está parado no espaço e decide acelerar, consumindo todo o combustível. Os gases de escape são lançados a uma velocidade de 0,500,c (onde c é a velocidade da luz) em relação ao referencial inicial. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade final do foguete ( uR) após consumir todo o combustível. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Conservação do Momento, que diz que o momento total do sistema deve se manter constante se não houver forças externas atuando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento. Na física clássica, o momento ( p) é dado por p = m times v, onde m é a massa e v é a velocidade. Porém, como a velocidade dos gases de escape é uma fração significativa da velocidade da luz ( 0,500,c), precisamos usar a fórmula relativística do momento, que é:
p = m times vraiz1 - v^2c^2
Essa fórmula leva em conta os efeitos da relatividade quando as velocidades se aproximam da velocidade da luz.

Passo 3

Vamos aplicar a conservação do momento. Inicialmente, o foguete está parado, então o momento total é zero. Depois de consumir o combustível, o foguete ganha uma velocidade uR para frente, e os gases de escape são lançados para trás com velocidade 0,500,c. Assim, a soma dos momentos do foguete e dos gases de escape deve ser zero:
mf times uRraiz1 - uR^2c^2 + mg times (-0,500,c)raiz1 - (0,500,c)^2c^2 = 0
Onde:
  • mf = 1,00 times 10^6 kg - 1,00 times 10^3 kg = 9,99 times 10^5 kg (massa final do foguete)
  • mg = 1,00 times 10^3 kg (massa dos gases de escape)

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para uR. Primeiro, simplificamos a equação:
9,99 times 10^5 uRraiz1 - uR^2c^2 = 1,00 times 10^3 times 0,500,craiz1 - 0,25
Calculando o denominador do lado direito:
raiz1 - 0,25 = raiz0,75 approx 0,8660
Substituindo:
9,99 times 10^5 uRraiz1 - uR^2c^2 = 1,00 times 10^3 times 0,500,c0,8660 approx 500,c0,8660 approx 577,35,c
Agora, isolamos uR:
uR = 577,35,c times raiz1 - uR^2c^29,99 times 10^5
Como a velocidade final do foguete será muito menor que a velocidade da luz, podemos simplificar a equação usando uma aproximação não-relativística:
mf times uR approx mg times 0,500,c
Então:
uR approx mg times 0,500,cmf = 1,00 times 10^3 times 0,500,c9,99 times 10^5 approx 500,c999000 approx 0,0005005,c

Resposta

A velocidade final do foguete em relação a S é aproximadamente uR approx 5,005 times 10^-4,c, ou seja, cerca de 1,50 times 10^5 m/s.

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