Um foguete com
tem
de combustível a bordo.
foguete está parado no espaço quando de repente torna-se necessário acelerar. A ignição dos motores do foguete é feita e o combustível de
é consumido. O gás de escape (combustível gasto) é lançado durante um curto intervalo de tempo numa velocidade de 0,500 c em relação a
- o referencial inercial no qual o foguete está inicialmente em repouso.
b) Calcule a velocidade final do foguete
em relação a
.
b) Calcule a velocidade final do foguete
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um foguete que pesa
e carrega
de combustível. O foguete está parado no espaço e decide acelerar, consumindo todo o combustível. Os gases de escape são lançados a uma velocidade de
(onde
é a velocidade da luz) em relação ao referencial inicial. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade final do foguete (
) após consumir todo o combustível. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Conservação do Momento, que diz que o momento total do sistema deve se manter constante se não houver forças externas atuando.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento. Na física clássica, o momento (
) é dado por
, onde
é a massa e
é a velocidade. Porém, como a velocidade dos gases de escape é uma fração significativa da velocidade da luz (
), precisamos usar a fórmula relativística do momento, que é:
Essa fórmula leva em conta os efeitos da relatividade quando as velocidades se aproximam da velocidade da luz.
Passo 3
Vamos aplicar a conservação do momento. Inicialmente, o foguete está parado, então o momento total é zero. Depois de consumir o combustível, o foguete ganha uma velocidade
para frente, e os gases de escape são lançados para trás com velocidade
. Assim, a soma dos momentos do foguete e dos gases de escape deve ser zero:
Onde:
-
(massa final do foguete) -
(massa dos gases de escape)
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
. Primeiro, simplificamos a equação:
Calculando o denominador do lado direito:
Substituindo:
Agora, isolamos
:
Como a velocidade final do foguete será muito menor que a velocidade da luz, podemos simplificar a equação usando uma aproximação não-relativística:
Então:
Resposta
A velocidade final do foguete em relação a
é aproximadamente
, ou seja, cerca de
.