Considere o movimento de um projétil na Terra com ar. Mostre qual a trajetória desse projétil. Para um tempo suficientemente grande qual sua trajetória?
Passo 1
Então, estamos lidando com o movimento de um projétil na Terra levando em consideração a resistência do ar. Nosso objetivo é mostrar qual é a trajetória desse projétil e descobrir qual será essa trajetória quando o tempo for suficientemente grande. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente as equações do movimento com resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam no projétil. Temos a força da gravidade, que puxa o projétil para baixo, e a força de resistência do ar, que age contra o movimento do projétil. A resistência do ar geralmente depende da velocidade do projétil.
Passo 3
Vamos considerar que a força de resistência do ar é proporcional à velocidade do projétil. Isso pode ser representado pela equação
, onde
é uma constante de proporcionalidade e
é a velocidade.
Passo 4
Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração:
. Para o movimento vertical e horizontal, temos:
- Na vertical:
- Na horizontal:
Passo 5
Resolvendo a equação horizontal, temos uma equação diferencial simples:
A solução dessa equação é:
Passo 6
Integrando a velocidade horizontal para encontrar a posição horizontal, obtemos:
Passo 7
Para a direção vertical, resolvemos a equação diferencial:
A solução dessa equação é:
Passo 8
Integrando a velocidade vertical para encontrar a posição vertical, temos:
Passo 9
Para determinar a trajetória
, eliminamos
das equações de
e
. Isso nos dá uma relação entre
e
que descreve a trajetória do projétil.
Passo 10
Agora, vamos considerar o caso quando o tempo
é suficientemente grande. À medida que
tende ao infinito, os termos exponenciais
vão para zero. Assim, as equações simplificam para:
Resposta
Para um tempo suficientemente grande, a trajetória do projétil se aproxima de uma linha reta vertical, pois a posição horizontal se estabiliza enquanto a posição vertical continua aumentando linearmente com o tempo. Portanto, a trajetória assintótica do projétil é uma linha vertical.
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