Considere o movimento de um projétil na Terra com ar. Mostre qual a trajetória desse projétil. Para um tempo suficientemente grande qual sua trajetória?

Passo 1

Então, estamos lidando com o movimento de um projétil na Terra levando em consideração a resistência do ar. Nosso objetivo é mostrar qual é a trajetória desse projétil e descobrir qual será essa trajetória quando o tempo for suficientemente grande. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica, especificamente as equações do movimento com resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças que atuam no projétil. Temos a força da gravidade, que puxa o projétil para baixo, e a força de resistência do ar, que age contra o movimento do projétil. A resistência do ar geralmente depende da velocidade do projétil.

Passo 3

Vamos considerar que a força de resistência do ar é proporcional à velocidade do projétil. Isso pode ser representado pela equação ê, onde é uma constante de proporcionalidade e é a velocidade.

Passo 4

Agora, aplicamos a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa multiplicada pela aceleração: . Para o movimento vertical e horizontal, temos:
  • Na vertical:
  • Na horizontal:

Passo 5

Resolvendo a equação horizontal, temos uma equação diferencial simples:
A solução dessa equação é:

Passo 6

Integrando a velocidade horizontal para encontrar a posição horizontal, obtemos:

Passo 7

Para a direção vertical, resolvemos a equação diferencial:
A solução dessa equação é:

Passo 8

Integrando a velocidade vertical para encontrar a posição vertical, temos:

Passo 9

Para determinar a trajetória , eliminamos das equações de e . Isso nos dá uma relação entre e que descreve a trajetória do projétil.

Passo 10

Agora, vamos considerar o caso quando o tempo é suficientemente grande. À medida que tende ao infinito, os termos exponenciais vão para zero. Assim, as equações simplificam para:

Resposta

Para um tempo suficientemente grande, a trajetória do projétil se aproxima de uma linha reta vertical, pois a posição horizontal se estabiliza enquanto a posição vertical continua aumentando linearmente com o tempo. Portanto, a trajetória assintótica do projétil é uma linha vertical.

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