Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo, com valores iniciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois adicionar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções baseadas nas raízes características.
A equação característica é:
. Resolvendo para
, temos
. Isso significa que as soluções da equação homogênea são funções senoidais.
Passo 3
Com as raízes
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o termo forçado é
, vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Derivando
:
Substituindo na equação original:
Passo 6
Agrupando os termos similares:
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Resolvendo para
e
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
.
Segunda condição:
.
Primeiro, derivamos :
Primeiro, derivamos
Aplicando
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral:
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