Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo, com valores iniciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois adicionar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções baseadas nas raízes características.
A equação característica é: . Resolvendo para , temos . Isso significa que as soluções da equação homogênea são funções senoidais.

Passo 3

Com as raízes , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o termo forçado é , vamos supor uma solução particular da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Derivando :
Substituindo na equação original:

Passo 6

Agrupando os termos similares:
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Resolvendo para e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: .
Segunda condição: .
Primeiro, derivamos :
Aplicando :

Resposta

Substituindo e na solução geral:

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