Determine as soluções dos sistemas mecânicos correspondentes às equações abaixo, com valores iniciais:
ddotx+x=3 cos (2 t), x(0)=1, dotx0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo ddotx + x = 3 cos(2t). Aqui, ddotx representa a segunda derivada de x em relação ao tempo t. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois adicionar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: ddotx + x = 0. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções baseadas nas raízes características.
A equação característica é: r^2 + 1 = 0. Resolvendo para r, temos r = pm i. Isso significa que as soluções da equação homogênea são funções senoidais.

Passo 3

Com as raízes r = pm i, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t)
Aqui, C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( xp(t)) para a equação completa ddotx + x = 3 cos(2t). Como o termo forçado é 3 cos(2t), vamos supor uma solução particular da forma:
xp(t) = A cos(2t) + B sin(2t)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Derivando xp(t):
dotxp(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t)
ddotxp(t) = -4A cos(2t) - 4B sin(2t)
Substituindo na equação original:
-4A cos(2t) - 4B sin(2t) + A cos(2t) + B sin(2t) = 3 cos(2t)

Passo 6

Agrupando os termos similares:
(-4A + A) cos(2t) + (-4B + B) sin(2t) = 3 cos(2t)
-3A cos(2t) - 3B sin(2t) = 3 cos(2t)
Isso nos dá o sistema:
-3A = 3 e -3B = 0

Passo 7

Resolvendo para A e B:
A = -1 e B = 0
Portanto, a solução particular é:
xp(t) = -cos(2t)

Passo 8

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) - cos(2t)

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeira condição: x(0) = 1.
1 = C1 cos(0) + C2 sin(0) - cos(0)
1 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 - 1
C1 - 1 = 1 implies C1 = 2
Segunda condição: dotx(0) = 1.
Primeiro, derivamos x(t):
dotx(t) = -C1 sin(t) + C2 cos(t) + 2 sin(2t)
Aplicando t = 0:
1 = -C1 sin(0) + C2 cos(0) + 2 sin(0)
1 = -C1 cdot 0 + C2 cdot 1 + 2 cdot 0
C2 = 1

Resposta

Substituindo C1 = 2 e C2 = 1 na solução geral:
x(t) = 2 cos(t) + sin(t) - cos(2t)

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