Determine a solução do regime transiente e do regime estacionário dos sistemas mecânicos que correspondem às equações de movimento abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o movimento de um sistema mecânico:
Vamos precisar usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as soluções de equações lineares de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar tanto a solução do regime transiente (a parte que “dorme” e desaparece com o tempo) quanto a solução do regime estacionário (a parte que permanece constante no tempo).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
Para resolver essa EDO, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas, a solução da equação homogênea será:
Onde e . Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
Como o lado direito é uma constante (25), vamos supor que a solução particular também seja uma constante, ou seja, , onde é uma constante a ser determinada.
Derivando :
Substituindo na equação:
Então, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Aqui, a parte representa o regime transiente, que desaparece com o tempo se considerarmos condições de estabilidade, e a constante é o regime estacionário, que permanece constante para .

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde:
  • Regime Transiente:
  • Regime Estacionário:

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