Determine a solução do regime transiente e do regime estacionário dos sistemas mecânicos que correspondem às equações de movimento abaixo:
ddotx-2 dotx+2 x=25

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o movimento de um sistema mecânico:
ddotx - 2 dotx + 2x = 25
Vamos precisar usar conhecimentos de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as soluções de equações lineares de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar tanto a solução do regime transiente (a parte que “dorme” e desaparece com o tempo) quanto a solução do regime estacionário (a parte que permanece constante no tempo).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é quando igualamos o lado direito a zero:
ddotx - 2 dotx + 2x = 0
Para resolver essa EDO, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica para essa EDO é:
r^2 - 2r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 - 2r + 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 82 = 2 pm raiz-42 = 1 pm i
Como as raízes são complexas, a solução da equação homogênea será:
xh(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Onde alpha = 1 e beta = 1. Então,
xh(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação completa:
ddotx - 2 dotx + 2x = 25
Como o lado direito é uma constante (25), vamos supor que a solução particular também seja uma constante, ou seja, xp = A, onde A é uma constante a ser determinada.
Derivando xp:
dotxp = 0
ddotxp = 0
Substituindo na equação:
0 - 2 cdot 0 + 2A = 25 Rightarrow 2A = 25 Rightarrow A = 252
Então, a solução particular é:
xp(t) = 252

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) + 252
Aqui, a parte e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) representa o regime transiente, que desaparece com o tempo se considerarmos condições de estabilidade, e a constante 252 é o regime estacionário, que permanece constante para t infty.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) ) + 252
Onde:
  • Regime Transiente: e^t ( C1 cos(t) + C2 sin(t) )
  • Regime Estacionário: 252

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