Considere
munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial.
. a) Utilize o Processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal do stibespaço
a partir da base
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o Processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal do subespaço
em
, partindo da base inicial
.
Para isso, vamos precisar:
- Entender o que é uma base ortonormal.
- Saber como aplicar o Processo de Gram-Schmidt, que serve para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal e, depois, normalizar os vetores para que fiquem com norma 1.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Processo de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma sequência de vetores lineares e transformá-los em uma sequência de vetores ortogonais. Depois, normalizamos esses vetores para obter uma base ortonormal.
Temos a base inicial
, onde:
Passo 3
Vamos começar aplicando o Processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores.
Primeiro, definimos
:
Em seguida, calculamos
subtraindo de
a projeção de
sobre
:
Onde a projeção é dada por:
Passo 4
Vamos calcular os produtos internos necessários.
Primeiro, o produto interno
:
Depois,
:
Então, a projeção fica:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos os vetores ortogonais
e
. Vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal.
A norma de
:
Então, o vetor ortonormal
é:
Passo 7
Agora, calculamos a norma de
:
Então, o vetor ortonormal
é:
Podemos simplificar mais:
Resposta
A base ortonormal do subespaço
construída a partir da base
é: