Considere V=R^3 munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial. S=[x, y, z] in R^3 ; 2 x-y+3 z=0. a) Utilize o Processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal do stibespaço S a partir da base beta=[-1,1,1],[3,0,-2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente usar o Processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal do subespaço em , partindo da base inicial .
Para isso, vamos precisar:
  • Entender o que é uma base ortonormal.
  • Saber como aplicar o Processo de Gram-Schmidt, que serve para transformar uma base qualquer em uma base ortogonal e, depois, normalizar os vetores para que fiquem com norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Processo de Gram-Schmidt. Ele serve para pegar uma sequência de vetores lineares e transformá-los em uma sequência de vetores ortogonais. Depois, normalizamos esses vetores para obter uma base ortonormal.
Temos a base inicial v1 = [-1, 1, 1], v2 = [3, 0, -2] , onde:

Passo 3

Vamos começar aplicando o Processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar os vetores.
Primeiro, definimos u1 = v1 = [-1, 1, 1] :
u2 = v2 - proju1 v2
Em seguida, calculamos proju1 v2 = lang<= v2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 subtraindo de a projeção de sobre :
Onde a projeção é dada por:

Passo 4

Vamos calcular os produtos internos necessários.
Primeiro, o produto interno lang<= v2, u1 rang<= = (3)(-1) + (0)(1) + (-2)(1) = -3 + 0 -2 = -5 :
lang<= u1, u1 rang<= = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3
Depois, proju1 v2 = -53 u1 = -53 [-1, 1, 1] = [ 53, -53, -53 ] :
Então, a projeção fica:

Passo 5

Agora, calculamos u2 = v2 - proju1 v2 = [3, 0, -2] - [ 53, -53, -53 ] = [ 3 - 53, 0 - (-53), -2 - (-53) ] :
u2 = [ 93 - 53, 53, -63 + 53 ] = [ 43, 53, -13 ]
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos os vetores ortogonais | u1 | = raiz(-1)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 e e1 = u1| u1 | = 1raiz3 [-1, 1, 1] = [ -1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ] . Vamos normalizá-los para obter uma base ortonormal.
A norma de :
Então, o vetor ortonormal é:

Passo 7

Agora, calculamos a norma de | u2 | = raiz( 43 )^2 + ( 53 )^2 + ( -13 )^2 = raiz 169 + 259 + 19 = raiz 429 = raiz 143 = raiz14raiz3 :
e2 = u2| u2 | = 1raiz14raiz3 [ 43, 53, -13 ] = raiz3raiz14 [ 43, 53, -13 ] = [ 4raiz33raiz14, 5raiz33raiz14, -raiz33raiz14 ]
Então, o vetor ortonormal e2 = [ 4raiz42, 5raiz42, -1raiz42 ] é:
Podemos simplificar mais:

Resposta

A base ortonormal do subespaço [ -1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ], [ 4raiz42, 5raiz42, -1raiz42 ] construída a partir da base é:

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