Encontre uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: eixo vertical, passando por (-2,3),(0,3) e (1,9). Esboce o gráfico, indicando vértice, foco e reta diretriz. (Sugestão: Use a função quadrática y=a x^2+b x+c )

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar a equação de uma parábola com eixo vertical que passa pelos pontos (-2,3), (0,3) e (1,9). Para isso, vamos usar a função quadrática geral:
y = a x^2 + b x + c
Vamos precisar encontrar os valores de a, b e c que fazem essa equação passar por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se a parábola passa por um ponto (x, y), então substituindo esses valores na equação da parábola devemos obter uma igualdade verdadeira. Vamos aplicar isso aos três pontos fornecidos.

Passo 3

Vamos substituir cada ponto na equação y = a x^2 + b x + c:
  1. Para o ponto (-2, 3):
3 = a (-2)^2 + b (-2) + c 3 = 4a - 2b + c (Equação 1) çã
  1. Para o ponto (0, 3):
3 = a (0)^2 + b (0) + c 3 = c (Equação 2) çã
  1. Para o ponto (1, 9):
9 = a (1)^2 + b (1) + c 9 = a + b + c (Equação 3) çã

Passo 4

Agora, já sabemos que c = 3 (da Equação 2). Vamos substituir esse valor nas Equações 1 e 3:
  • Substituindo em Equação 1:
3 = 4a - 2b + 3 3 - 3 = 4a - 2b 0 = 4a - 2b
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
0 = 2a - b (Equação 4) çã
  • Substituindo em Equação 3:
9 = a + b + 3 9 - 3 = a + b 6 = a + b (Equação 5) çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. 2a - b = 0 (Equação 4)
  2. a + b = 6 (Equação 5)
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 4, podemos expressar b em termos de a:
2a = b Rightarrow b = 2a
Agora, substituímos b = 2a na Equação 5:
a + 2a = 6 3a = 6 a = 2
Com a = 2, substituímos de volta para encontrar b:
b = 2a = 2 times 2 = 4

Passo 6

Agora que temos a = 2, b = 4 e c = 3, podemos escrever a equação da parábola:
y = 2x^2 + 4x + 3

Passo 7

Vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada x do vértice é:
xv = -b2a = -42 times 2 = -44 = -1
Substituindo xv = -1 na equação para encontrar yv:
yv = 2(-1)^2 + 4(-1) + 3 = 2(1) - 4 + 3 = 2 - 4 + 3 = 1
Então, o vértice é (-1, 1).

Passo 8

Para encontrar o foco e a reta diretriz, precisamos calcular a distância p do vértice ao foco. A fórmula é:
p = 14a = 14 times 2 = 18
Como a parábola tem eixo vertical e abre para cima (já que a > 0):
  • O foco estará p unidades acima do vértice:
F = (-1, 1 + 18) = (-1, 98)
  • A reta diretriz estará p unidades abaixo do vértice:
y = 1 - 18 = 78

Resposta

A equação da parábola é:
y = 2x^2 + 4x + 3
O vértice está em (-1, 1), o foco em (-1, 98) e a reta diretriz é y = 78. O gráfico dessa parábola tem concavidade para cima, passando pelos pontos (-2,3), (0,3) e (1,9).

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