Encontre uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: eixo vertical, passando por
e
. Esboce o gráfico, indicando vértice, foco e reta diretriz. (Sugestão: Use a função quadrática
)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar a equação de uma parábola com eixo vertical que passa pelos pontos
,
e
. Para isso, vamos usar a função quadrática geral:
Vamos precisar encontrar os valores de
,
e
que fazem essa equação passar por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se a parábola passa por um ponto
, então substituindo esses valores na equação da parábola devemos obter uma igualdade verdadeira. Vamos aplicar isso aos três pontos fornecidos.
Passo 3
Vamos substituir cada ponto na equação
:
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
- Para o ponto
:
Passo 4
Agora, já sabemos que
(da Equação 2). Vamos substituir esse valor nas Equações 1 e 3:
- Substituindo em Equação 1:
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 2:
- Substituindo em Equação 3:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-
(Equação 4) -
(Equação 5)
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 4, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na Equação 5:
Com
, substituímos de volta para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos escrever a equação da parábola:
Passo 7
Vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Substituindo
na equação para encontrar
:
Então, o vértice é
.
Passo 8
Para encontrar o foco e a reta diretriz, precisamos calcular a distância
do vértice ao foco. A fórmula é:
Como a parábola tem eixo vertical e abre para cima (já que
):
- O foco estará
unidades acima do vértice:
- A reta diretriz estará
unidades abaixo do vértice:
Resposta
A equação da parábola é:
O vértice está em
, o foco em
e a reta diretriz é
. O gráfico dessa parábola tem concavidade para cima, passando pelos pontos
,
e
.
Exercícios relacionados
Considere
munido com o produto interno usual e o subespaço vetorial.
. a) Utilize o Processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal do stibespaço
a partir da base
.
Classifique as seguintes afirmações em verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta por meios de argumentos, esquemas, por representações ou por verificações.
e) A reta está no plano
e) A reta
Considere
munido como produto interno usuale
, com
a) Mostre que
é uma base ortogonal de
Considere
munido como produto interno usuale
, com
b) Determine
, para
.