Considere
munido como produto interno usuale
, com
a) Mostre que
é uma base ortogonal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases ortogonais em espaços vetoriais. A gente vai precisar entender o que é uma base ortogonal e como verificar se um conjunto de matrizes satisfaz essa condição. Nosso objetivo aqui é mostrar que o conjunto
que você forneceu é uma base ortogonal do espaço
, ou seja, o conjunto de todas as matrizes 2x2 com produto interno usual.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno no espaço de matrizes. No
, o produto interno usual entre duas matrizes
e
é definido como:
Onde
representa a soma dos elementos da diagonal principal, e
é a matriz transposta de
. Esse produto interno é também conhecido como produto interno de Frobenius.
Passo 3
Agora, uma base ortogonal é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são todos mutuamente ortogonais com relação ao produto interno definido, e que também formam uma base do espaço. Ou seja, além de serem ortogonais, elas devem ser lineares e cobrir todo o espaço
.
No nosso caso, como
tem dimensão 4 (já que uma matriz 2x2 tem 4 elementos independentes), precisamos de 4 matrizes que sejam mutuamente ortogonais e nenhuma delas seja a matriz zero.
Passo 4
Vamos verificar se as matrizes
e
são mutuamente ortogonais usando o produto interno de Frobenius. Ou seja, precisamos calcular
,
,
,
,
e
, e ver se todas essas produções internas são iguais a zero.
Passo 5
Vamos calcular
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, a soma dos elementos da diagonal principal de
é:
Portanto,
.
Passo 6
Repetindo o mesmo processo para
:
Calculando
:
Então,
Logo,
.
Passo 7
Fazendo o mesmo para
:
Calculando
:
Então,
Portanto,
.
Passo 8
Agora, vamos verificar
:
Calculando
:
Então,
Logo,
.
Passo 9
Continuando, vamos calcular
:
Então,
Portanto,
.
Passo 10
Por último, vamos verificar
:
Calculando
:
Então,
Logo,
.
Passo 11
Até aqui, mostramos que todas as combinações de produto interno entre as matrizes
e
resultam em zero. Isso significa que o conjunto
é um conjunto ortogonal, já que todas as matrizes são mutuamente ortogonais entre si.
Além disso, como temos exatamente 4 matrizes em um espaço de dimensão 4, e nenhuma delas é a matriz zero, o conjunto é também linearmente independente e, portanto, forma uma base para
.
Resposta
Portanto, o conjunto
é uma base ortogonal de
.
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e
. Esboce o gráfico, indicando vértice, foco e reta diretriz. (Sugestão: Use a função quadrática
)
Considere
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.
Considere
munido como produto interno usuale
, com
b) Determine
, para
.
Determine quais das seguintes funçös sāo transformacôes lineares:
definida por
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