Considere V=M(2,2) munido como produto interno usuale beta=A, B, C, D, com A=[ll 1 & 1 1 & 1 ], B=[cc -3 / 4 & 1 / 4 1 / 4 & 1 / 4 ], C=[cc 0 & -2 / 3 1 / 3 & 1 / 3 ], D=[cc 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 ] (0,0) a) Mostre que beta é uma base ortogonal de V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me mandou é um exercício de Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases ortogonais em espaços vetoriais. A gente vai precisar entender o que é uma base ortogonal e como verificar se um conjunto de matrizes satisfaz essa condição. Nosso objetivo aqui é mostrar que o conjunto beta = A, B, C, D que você forneceu é uma base ortogonal do espaço V = M(2,2), ou seja, o conjunto de todas as matrizes 2x2 com produto interno usual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno no espaço de matrizes. No V = M(2,2), o produto interno usual entre duas matrizes X e Y é definido como:
lang<= X, Y rang<= = tr(X^T Y)
Onde tr representa a soma dos elementos da diagonal principal, e X^T é a matriz transposta de X. Esse produto interno é também conhecido como produto interno de Frobenius.

Passo 3

Agora, uma base ortogonal é um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso) que são todos mutuamente ortogonais com relação ao produto interno definido, e que também formam uma base do espaço. Ou seja, além de serem ortogonais, elas devem ser lineares e cobrir todo o espaço V.
No nosso caso, como V = M(2,2) tem dimensão 4 (já que uma matriz 2x2 tem 4 elementos independentes), precisamos de 4 matrizes que sejam mutuamente ortogonais e nenhuma delas seja a matriz zero.

Passo 4

Vamos verificar se as matrizes A, B, C e D são mutuamente ortogonais usando o produto interno de Frobenius. Ou seja, precisamos calcular lang<= A, B rang<=, lang<= A, C rang<=, lang<= A, D rang<=, lang<= B, C rang<=, lang<= B, D rang<= e lang<= C, D rang<=, e ver se todas essas produções internas são iguais a zero.

Passo 5

Vamos calcular lang<= A, B rang<=:
A = 1 & 1 1 & 1 , B = -34 & 14 14 & 14
Primeiro, calculamos A^T B:
A^T = 1 & 1 1 & 1 , A^T B = 1 & 1 1 & 1 -34 & 14 14 & 14 = (-34 + 14) & (14 + 14) (-34 + 14) & (14 + 14) = -12 & 12 -12 & 12
Agora, a soma dos elementos da diagonal principal de A^T B é:
tr(A^T B) = -12 + 12 = 0
Portanto, lang<= A, B rang<= = 0.

Passo 6

Repetindo o mesmo processo para lang<= A, C rang<=:
C = 0 & -23 13 & 13
Calculando A^T C:
A^T C = 1 & 1 1 & 1 0 & -23 13 & 13 = (0 + 13) & (-23 + 13) (0 + 13) & (-23 + 13) = 13 & -13 13 & -13
Então,
tr(A^T C) = 13 + (-13) = 0
Logo, lang<= A, C rang<= = 0.

Passo 7

Fazendo o mesmo para lang<= A, D rang<=:
D = 0 & 0 -12 & 12
Calculando A^T D:
A^T D = 1 & 1 1 & 1 0 & 0 -12 & 12 = (0 + (-12)) & (0 + 12) (0 + (-12)) & (0 + 12) = -12 & 12 -12 & 12
Então,
tr(A^T D) = -12 + 12 = 0
Portanto, lang<= A, D rang<= = 0.

Passo 8

Agora, vamos verificar lang<= B, C rang<=:
Calculando B^T C:
B^T = -34 & 14 14 & 14 ^T = -34 & 14 14 & 14
B^T C = -34 & 14 14 & 14 0 & -23 13 & 13 = (-34 cdot 0 + 14 cdot 13) & (-34 cdot -23 + 14 cdot 13) (14 cdot 0 + 14 cdot 13) & (14 cdot -23 + 14 cdot 13) = 112 & 12 112 & -112
Então,
tr(B^T C) = 112 + (-112) = 0
Logo, lang<= B, C rang<= = 0.

Passo 9

Continuando, vamos calcular lang<= B, D rang<=:
B^T D = -34 & 14 14 & 14 0 & 0 -12 & 12 = (-34 cdot 0 + 14 cdot -12) & (-34 cdot 0 + 14 cdot 12) (14 cdot 0 + 14 cdot -12) & (14 cdot 0 + 14 cdot 12) = -18 & 18 -18 & 18
Então,
tr(B^T D) = -18 + 18 = 0
Portanto, lang<= B, D rang<= = 0.

Passo 10

Por último, vamos verificar lang<= C, D rang<=:
Calculando C^T D:
C^T = 0 & 13 -23 & 13 , D = 0 & 0 -12 & 12
C^T D = 0 & 13 -23 & 13 0 & 0 -12 & 12 = (0 cdot 0 + 13 cdot -12) & (0 cdot 0 + 13 cdot 12) (-23 cdot 0 + 13 cdot -12) & (-23 cdot 0 + 13 cdot 12) = -16 & 16 -16 & 16
Então,
tr(C^T D) = -16 + 16 = 0
Logo, lang<= C, D rang<= = 0.

Passo 11

Até aqui, mostramos que todas as combinações de produto interno entre as matrizes A, B, C e D resultam em zero. Isso significa que o conjunto beta = A, B, C, D é um conjunto ortogonal, já que todas as matrizes são mutuamente ortogonais entre si.
Além disso, como temos exatamente 4 matrizes em um espaço de dimensão 4, e nenhuma delas é a matriz zero, o conjunto é também linearmente independente e, portanto, forma uma base para V = M(2,2).

Resposta

Portanto, o conjunto beta = A, B, C, D é uma base ortogonal de V = M(2,2).

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Considere V=M(2,2) munido como produto interno usuale beta=A, B, C, D, com A=[ll 1 & 1 1 & 1 ], B=[cc -3 / 4 & 1 / 4 1 / 4 & 1 / 4 ], C=[cc 0 & -2 / 3 1 / 3 & 1 / 3 ], D=[cc 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 ] (4,25) b) Determine (A1)beta, para A1=[cc1 & -3 2 & 2].
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