Considere V=M(2,2) munido como produto interno usuale beta=A, B, C, D, com A=[ll 1 & 1 1 & 1 ], B=[cc -3 / 4 & 1 / 4 1 / 4 & 1 / 4 ], C=[cc 0 & -2 / 3 1 / 3 & 1 / 3 ], D=[cc 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 ] (4,25) b) Determine (A1)beta, para A1=[cc1 & -3 2 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial 1 & -3 2 & 2, que é o conjunto de todas as matrizes 2x2, com um produto interno padrão. A base é dada, onde cada matriz está especificada. A parte (b) do exercício pede para determinar as coordenadas de uma matriz em relação a essa base . Para isso, vamos precisar entender como expressar uma matriz como combinação linear das matrizes da base.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que encontrar A1 = c1 A + c2 B + c3 C + c4 D significa encontrar os coeficientes tais que:
Ou seja, queremos escrever como uma soma ponderada das matrizes da base.

Passo 3

Vamos substituir as matrizes da base e 1 & -3 2 & 2 = c1 1 & 1 1 & 1 + c2 -34 & 14 14 & 14 + c3 0 & -23 13 & 13 + c4 0 & 0 -12 & 12 na equação acima:

Passo 4

Agora, vamos somar as matrizes do lado direito:
c1 1 & 1 1 & 1 + c2 -34 & 14 14 & 14 + c3 0 & -23 13 & 13 + c4 0 & 0 -12 & 12 = c1 - 34c2 & c1 + 14c2 - 23c3 c1 + 14c2 + 13c3 - 12c4 & c1 + 14c2 + 13c3 + 12c4

Passo 5

Agora, igualamos cada entrada da matriz resultante à correspondente de c1 - 34c2 = 1 c1 + 14c2 - 23c3 = -3 c1 + 14c2 + 13c3 - 12c4 = 2 c1 + 14c2 + 13c3 + 12c4 = 2 :

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela primeira equação:
c1 - 34c2 = 1 Rightarrow c1 = 1 + 34c2

Passo 7

Substituímos 1 + 34c2 + 14c2 - 23c3 = -3 na segunda equação:
1 + c2 - 23c3 = -3 Rightarrow c2 - 23c3 = -4
Simplificando:

Passo 8

Agora, observamos as equações terceira e quarta:
c1 + 14c2 + 13c3 - 12c4 = 2
c1 + 14c2 + 13c3 + 12c4 = 2
Subtraindo a primeira da segunda, temos:
( c1 + 14c2 + 13c3 + 12c4 ) - ( c1 + 14c2 + 13c3 - 12c4 ) = 0
Simplificando:
c4 = 0

Passo 9

Agora que sabemos que c1 + 14c2 + 13c3 = 2 , voltamos à terceira equação:
1 + 34c2 + 14c2 + 13c3 = 2
Substituindo 1 + c2 + 13c3 = 2 Rightarrow c2 + 13c3 = 1 :
Simplificando:

Passo 10

Agora, temos um sistema com duas equações:
c2 - 23c3 = -4 c2 + 13c3 = 1
Subtraindo a segunda da primeira:
c2 - 23c3 - (c2 + 13c3) = -4 -1
Simplificando:
-11c3 = -5 Rightarrow c3 = 5

Passo 11

Com c2 + 13(5) = 1 Rightarrow c2 + 53 = 1 Rightarrow c2 = 1 - 53 = -23 , substituímos na segunda equação:

Passo 12

Agora, lembrando que c1 = 1 + 34 ( -23 ) = 1 - 12 = 12 :

Resposta

As coordenadas de (A1)beta = ( 12, -23, 5, 0 ) na base são:

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Considere V=M(2,2) munido como produto interno usuale beta=A, B, C, D, com A=[ll 1 & 1 1 & 1 ], B=[cc -3 / 4 & 1 / 4 1 / 4 & 1 / 4 ], C=[cc 0 & -2 / 3 1 / 3 & 1 / 3 ], D=[cc 0 & 0 -1 / 2 & 1 / 2 ] (0,0) a) Mostre que beta é uma base ortogonal de V
Encontre uma equação da parábola que satisfaça as condições dadas: eixo vertical, passando por (-2,3),(0,3) e (1,9). Esboce o gráfico, indicando vértice, foco e reta diretriz. (Sugestão: Use a função quadrática y=a x^2+b x+c )
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T P2, P2 definida por T(x+y t+x^2)-y=x t+(x+=) t^2
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são reversas e ache a distância entre elas.