Considere munido como produto interno usuale , com b) Determine , para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes 2x2, com um produto interno padrão. A base é dada, onde cada matriz está especificada. A parte (b) do exercício pede para determinar as coordenadas de uma matriz em relação a essa base . Para isso, vamos precisar entender como expressar uma matriz como combinação linear das matrizes da base.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que encontrar significa encontrar os coeficientes tais que:
Ou seja, queremos escrever como uma soma ponderada das matrizes da base.
Passo 3
Vamos substituir as matrizes da base e na equação acima:
Passo 4
Agora, vamos somar as matrizes do lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos cada entrada da matriz resultante à correspondente de :
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela primeira equação:
c1 - 34c2 = 1 Rightarrow c1 = 1 + 34c2
Passo 7
Substituímos 1 + 34c2 + 14c2 - 23c3 = -3 na segunda equação: