Prove que as retas
r: x-1=2 y+4=4-2 z-2 e s: 2-x-2=y-53=z-5
são reversas e ache a distância entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa provar que duas retas são reversas (ou seja, são retas que não se cruzam e não são paralelas) e depois encontrar a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como as equações paramétricas das retas e a fórmula para calcular a distância entre retas reversas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações das retas r: x - 11 = y + 42 = z - 2-2 e x = 1 + t y = -4 + 2t z = 2 - 2t em forma paramétrica. Isso vai facilitar nossa análise.
A reta s: 2 - x-2 = y - 53 = z - 5 está dada por:
x = 2 + 2s y = 5 + 3s z = 5 + s
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.
A reta está dada por:
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das retas. O vetor diretor da reta (1, 2, -2) = k(2, 3, 1) é 1 = 2k Rightarrow k = 12 2 = 3k = 3 times 12 = 32 neq 2 e o da reta é .
Para as retas serem paralelas, os vetores diretores precisam ser proporcionais, ou seja, existir um número tal que:
Vamos ver se existe esse :
Como não conseguimos encontrar um que satisfaça todas as componentes, as retas não são paralelas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas se interceptam. Para isso, igualamos as equações paramétricas das retas e tentamos encontrar valores de 1 + t = 2 + 2s (1) -4 + 2t = 5 + 3s (2) 2 - 2t = 5 + s (3) e t = 2 + 2s - 1 = 1 + 2s que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Temos:
-4 + 2(1 + 2s) = 5 + 3s -4 + 2 + 4s = 5 + 3s -2 + 4s = 5 + 3s 4s - 3s = 5 + 2 s = 7
Resolvendo a equação (1):
t = 1 + 2 times 7 = 15
Substituindo 2 - 2 times 15 = 5 + 7 2 - 30 = 12 -28 neq 12 na equação (2):
Agora, substituindo na expressão para :
Vamos verificar na equação (3):
Como a última equação não é satisfeita, as retas não se interceptam.

Passo 5

Como as retas não são paralelas e não se interceptam, podemos concluir que elas são reversas.

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância entre essas retas reversas. A fórmula para a distância d = |(P2 - P1) cdot (dr times ds)||dr times ds| entre duas retas reversas é dada por:
P2 - P1 = (2 - 1, 5 - (-4), 5 - 2) = (1, 9, 3)
Onde:
  • dr times ds = i & j & k 1 & 2 & -2 2 & 3 & 1 = i(2 times 1 - (-2) times 3) - j(1 times 1 - (-2) times 2) + k(1 times 3 - 2 times 2) = i(2 + 6) - j(1 + 4) + k(3 - 4) = 8i - 5j - k e (1, 9, 3) cdot (8, -5, -1) = 1 times 8 + 9 times (-5) + 3 times (-1) = 8 - 45 - 3 = -40 são pontos nas retas |dr times ds| = raiz8^2 + (-5)^2 + (-1)^2 = raiz64 + 25 + 1 = raiz90 = 3raiz10 e d = 403raiz10 = 403raiz10 times raiz10raiz10 = 40raiz1030 = 4raiz103 , respectivamente.
  • e são os vetores diretores das retas.
  • representa o produto vetorial.
  • representa o produto escalar.
Vamos escolher na reta e na reta .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Então, .
Agora, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto é .
Em seguida, calculamos o módulo do produto vetorial :
Finalmente, a distância é:

Resposta

As retas são reversas e a distância entre elas é unidades.

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