Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa provar que duas retas são reversas (ou seja, são retas que não se cruzam e não são paralelas) e depois encontrar a distância entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como as equações paramétricas das retas e a fórmula para calcular a distância entre retas reversas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas e em forma paramétrica. Isso vai facilitar nossa análise.
A reta está dada por:
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.
A reta está dada por:
Podemos escrever isso como:
Onde é o parâmetro.
Passo 3
Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores das retas. O vetor diretor da reta é e o da reta é .
Para as retas serem paralelas, os vetores diretores precisam ser proporcionais, ou seja, existir um número tal que:
Vamos ver se existe esse :
Como não conseguimos encontrar um que satisfaça todas as componentes, as retas não são paralelas.
Passo 4
Agora, vamos verificar se as retas se interceptam. Para isso, igualamos as equações paramétricas das retas e tentamos encontrar valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.
Temos:
Resolvendo a equação (1):
Substituindo na equação (2):
Agora, substituindo na expressão para :
Vamos verificar na equação (3):
Como a última equação não é satisfeita, as retas não se interceptam.
Passo 5
Como as retas não são paralelas e não se interceptam, podemos concluir que elas são reversas.
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância entre essas retas reversas. A fórmula para a distância entre duas retas reversas é dada por:
Onde:
e são pontos nas retas e , respectivamente.
e são os vetores diretores das retas.
representa o produto vetorial.
representa o produto escalar.
Vamos escolher na reta e na reta .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos o produto vetorial :
Então, .
Agora, calculamos o produto escalar :
O valor absoluto é .
Em seguida, calculamos o módulo do produto vetorial :
Finalmente, a distância é:
Resposta
As retas são reversas e a distância entre elas é unidades.