Determine quais das seguintes funçös sāo transformacôes lineares:
definida por
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se uma função específica é uma transformação linear. Estamos trabalhando com polinômios de grau até 2, ou seja, no espaço
. Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve cumprir: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que foi dada. A transformação
está definida por:
Aqui, estamos transformando um polinômio de segundo grau
em outro polinômio
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a primeira propriedade de transformação linear: aditividade. Isso significa que para dois polinômios
e
em
, a função deve satisfazer:
Vamos assumir
e
. Aplicando
:
E:
Como
, a função não satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Mesmo já tendo descoberto que a função não é linear, vamos verificar a segunda propriedade: homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar
e polinômio
em
, deve valer:
Tomando
:
E:
Aqui,
a menos que
, o que não é geral. Então, a propriedade de homogeneidade também não é satisfeita.
Resposta
Como a função
não cumpre as propriedades de aditividade e homogeneidade, ela não é uma transformação linear.
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Considere
munido como produto interno usuale
, com
b) Determine
, para
.
Considere
munido como produto interno usuale
, com
a) Mostre que
é uma base ortogonal de
Prove que as retas
são reversas e ache a distância entre elas.
Seja
. Responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta.
ponto)
.