Determine quais das seguintes funçös sāo transformacôes lineares:
T P2, P2 definida por T(x+y t+x^2)-y=x t+(x+=) t^2
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se uma função específica é uma transformação linear. Estamos trabalhando com polinômios de grau até 2, ou seja, no espaço . Para resolver isso, precisamos lembrar das propriedades que uma transformação linear deve cumprir: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que foi dada. A transformação T(x + y t + x^2) = y + x t + t^2 está definida por:
Aqui, estamos transformando um polinômio de segundo grau em outro polinômio .

Passo 3

Agora, vamos verificar a primeira propriedade de transformação linear: aditividade. Isso significa que para dois polinômios T(P + Q) = T(P) + T(Q) e T(P + Q) = T((a + d) + (b + e) t + (c + f) t^2) = (b + e) + (a + d) t + t^2 em T(P) + T(Q) = (b + a t + t^2) + (e + d t + t^2) = (b + e) + (a + d) t + 2 t^2 , a função deve satisfazer:
Vamos assumir e . Aplicando :
E:
Como , a função não satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Mesmo já tendo descoberto que a função não é linear, vamos verificar a segunda propriedade: homogeneidade. Isso significa que para qualquer escalar T(cP) = cT(P) e polinômio T(cP) = T(ca + cb t + c t^2) = cb + ca t + t^2 em cT(P) = c(b + a t + t^2) = cb + ca t + c t^2 , deve valer:
Tomando :
E:
Aqui, a menos que , o que não é geral. Então, a propriedade de homogeneidade também não é satisfeita.

Resposta

Como a função não cumpre as propriedades de aditividade e homogeneidade, ela não é uma transformação linear.

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