Dados os vetores u=(2,-1,3) e v=(-2,1,2). Determine:
b) A projeção do vetor ū na direção do vetor v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (2, -1, 3) e v = (-2, 1, 2). A pergunta é pra gente encontrar a projeção do vetor u na direção do vetor v. Isso faz parte do conteúdo de Geometria Vetorial, especificamente sobre projeção de vetores. Para resolver, vamos usar a fórmula da projeção que relaciona produtos escalares e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da projeção de u na direção de v:
projv(u) = ( u cdot v|v|^2 ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores, e |v| é a norma (ou comprimento) do vetor v.

Passo 3

Vamos calcular primeiro o produto escalar u cdot v. Multiplicamos componente por componente e somamos:
u cdot v = (2)(-2) + (-1)(1) + (3)(2) = -4 -1 + 6 = 1

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de v, que é o comprimento do vetor. A fórmula é:
|v| = raiz(-2)^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Então, |v|^2 = 3^2 = 9.

Passo 5

Com o produto escalar e a norma de v calculados, vamos substituir na fórmula da projeção:
projv(u) = ( 19 ) v = 19 (-2, 1, 2)

Passo 6

Finalmente, multiplicamos cada componente de v por 19:
projv(u) = ( -29, 19, 29 )

Resposta

A projeção do vetor u na direção de v é ( dfrac-29,, dfrac19,, dfrac29 ).

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