Dados os vetores e . Determine:
b) A projeção do vetor ū na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e . A pergunta é pra gente encontrar a projeção do vetor na direção do vetor . Isso faz parte do conteúdo de Geometria Vetorial, especificamente sobre projeção de vetores. Para resolver, vamos usar a fórmula da projeção que relaciona produtos escalares e normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da projeção de na direção de :
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e é a norma (ou comprimento) do vetor .

Passo 3

Vamos calcular primeiro o produto escalar . Multiplicamos componente por componente e somamos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de , que é o comprimento do vetor. A fórmula é:
Então, .

Passo 5

Com o produto escalar e a norma de calculados, vamos substituir na fórmula da projeção:

Passo 6

Finalmente, multiplicamos cada componente de por :

Resposta

A projeção do vetor na direção de é .

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Determine a área do triângulo cujos vértices são e .
  1. Determine a projeção do vetor na direção do vetor .
Sejam e vetores no espaço, com .
(a) Determine o número , tal que seja ortogonal a .
(b) Mostre que .
Considere a notação para indicar que dois vetores são paralelos, ou seja, que têm a mesma direção. Usando as definições e propriedades de vetores, determine se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, dê um exemplo onde isso ocorre.
( ) Se , então .
( ) Se , então .
( ) Se , então .
, então .
( ) Se , então .
.
( ) Seja e , então ou .