Considere novamente um cabo coaxial consistido de dois condutores cilindrísticos com espessura muita fina, concêntricos e com raios internos e externo dado por R1 e R2, respectivamente. Considere que as correntes no condutor interno e na casca externa possuem mesma magnitudes mas direção opostas.
Determine a densidade de energia magnética na região entre os condutores ( R1 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um cabo coaxial com dois condutores cilíndricos concêntricos, ou seja, um dentro do outro, com raios e ( ). As correntes no condutor interno e na casca externa têm a mesma magnitude, mas sentidos opostos. Nossa missão é encontrar a densidade de energia magnética na região entre os dois condutores, onde .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de:
  • Campo magnético gerado por correntes elétricas (Lei de Ampère)
  • Densidade de energia magnética ( )

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o campo magnético nessa região entre os condutores. Para isso, usamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele.
A Lei de Ampère é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde é o campo magnético, é um elemento de comprimento ao longo do caminho de integração, é a permeabilidade do vácuo, e é a corrente encerrada pelo caminho de integração.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Ampère para um caminho circular de raio B cdot 2pi r = mu0 Ienc onde B cdot 2pi r = mu0 I . Devido à simetria cilíndrica, o campo magnético B = mu0 I2pi r tem a mesma magnitude em todos os pontos do caminho e é tangente ao caminho. Assim, a integral da Lei de Ampère simplifica para:
Agora, precisamos determinar , que é a corrente dentro do raio . Como a corrente no condutor interno tem magnitude e a da casca externa é , mas está fora do nosso caminho de integração, a corrente encerrada é apenas .
Então:

Passo 4

Agora que temos o campo magnético u = B^22mu0 na região u = ( mu0 I2pi r )^22mu0 = mu0 I^28pi^2 r^2 , podemos calcular a densidade de energia magnética usando a fórmula:
Substituindo na equação:

Resposta

A densidade de energia magnética na região entre os condutores é:
u = mu0 I^28pi^2 r^2

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