Considere novamente um cabo coaxial consistido de dois condutores cilindrísticos com espessura muita fina, concêntricos e com raios internos e externo dado por
e
, respectivamente. Considere que as correntes no condutor interno e na casca externa possuem mesma magnitudes mas direção opostas.
Determine a densidade de energia magnética na região entre os condutores (
).
Determine a densidade de energia magnética na região entre os condutores (
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um cabo coaxial com dois condutores cilíndricos concêntricos, ou seja, um dentro do outro, com raios
e
(
). As correntes no condutor interno e na casca externa têm a mesma magnitude, mas sentidos opostos. Nossa missão é encontrar a densidade de energia magnética na região entre os dois condutores, onde
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de:
- Campo magnético gerado por correntes elétricas (Lei de Ampère)
- Densidade de energia magnética (
)
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o campo magnético nessa região entre os condutores. Para isso, usamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um condutor com a corrente que passa por ele.
A Lei de Ampère é dada por:
onde
é o campo magnético,
é um elemento de comprimento ao longo do caminho de integração,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a corrente encerrada pelo caminho de integração.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Ampère para um caminho circular de raio
onde
. Devido à simetria cilíndrica, o campo magnético
tem a mesma magnitude em todos os pontos do caminho e é tangente ao caminho. Assim, a integral da Lei de Ampère simplifica para:
Agora, precisamos determinar
, que é a corrente dentro do raio
. Como a corrente no condutor interno tem magnitude
e a da casca externa é
, mas está fora do nosso caminho de integração, a corrente encerrada é apenas
.
Então:
Passo 4
Agora que temos o campo magnético
na região
, podemos calcular a densidade de energia magnética usando a fórmula:
Substituindo
na equação:
Resposta
A densidade de energia magnética na região entre os condutores é: