Determine o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora de raio e carga total ao longo do eixo (i.e. ), para pontos internos e externos.

Passo 1

Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora de raio e carga total ao longo do eixo , ou seja, em pontos onde a posição é . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico e o potencial elétrico, além das propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático tem a carga distribuída uniformemente na sua superfície. Isso significa que, para qualquer ponto fora da esfera, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. Essa é uma consequência da Lei de Gauss.

Passo 3

Para calcular o potencial elétrico fora da esfera (quando ), usamos a fórmula do potencial para uma carga pontual:
Aqui, é a permissividade do vácuo, é a carga total e é a distância do ponto ao centro da esfera ao longo do eixo .

Passo 4

Agora, vamos considerar pontos internos à esfera (quando ). Para um condutor em equilíbrio, o campo elétrico dentro da esfera é zero. Como o campo elétrico é a derivada negativa do potencial, isso implica que o potencial elétrico dentro da esfera é constante.

Passo 5

Para encontrar o valor constante do potencial interno, igualamos ao potencial na superfície da esfera (quando ):
Assim, o potencial dentro da esfera é o mesmo que na superfície.

Resposta

O potencial elétrico ao longo do eixo é dado por:

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