Determine o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora de raio
e carga total
ao longo do eixo
(i.e.
), para pontos internos e externos.
Passo 1
Vamos resolver um exercício onde precisamos determinar o potencial elétrico gerado por uma esfera condutora de raio
e carga total
ao longo do eixo
, ou seja, em pontos onde a posição é
. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico e o potencial elétrico, além das propriedades de condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático tem a carga distribuída uniformemente na sua superfície. Isso significa que, para qualquer ponto fora da esfera, o campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro da esfera. Essa é uma consequência da Lei de Gauss.
Passo 3
Para calcular o potencial elétrico fora da esfera (quando
), usamos a fórmula do potencial para uma carga pontual:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é a carga total e
é a distância do ponto ao centro da esfera ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos considerar pontos internos à esfera (quando
). Para um condutor em equilíbrio, o campo elétrico dentro da esfera é zero. Como o campo elétrico é a derivada negativa do potencial, isso implica que o potencial elétrico dentro da esfera é constante.
Passo 5
Para encontrar o valor constante do potencial interno, igualamos ao potencial na superfície da esfera (quando
):
Assim, o potencial dentro da esfera é o mesmo que na superfície.
Resposta
O potencial elétrico
ao longo do eixo
é dado por: