Considere novamente um elétron preso em uma região de comprimento . (a) No estado fundamental, qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região de a 0,0110 nm ? (b) No primeiro estado excitado, qual é a probabilidade de encontrar o elétron entre e ? © Mostre que o valor médio de x é , independente do estado quântico.

Passo 1

Então, temos um elétron preso em uma caixa com comprimento metros, ou seja, nanômetros. A questão aborda a probabilidade de encontrar o elétron em certas regiões dessa caixa nos estados fundamental e excitado, além de calcular o valor médio de . Para resolver, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em uma caixa, especificamente as funções de onda e a distribuição de probabilidade.

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar a probabilidade de localizar o elétron no estado fundamental entre nm e nm.
Primeiro, identificamos a função de onda para o estado fundamental ( ) da partícula na caixa:
A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:

Passo 3

Vamos calcular :
Então, a probabilidade fica:

Passo 4

Utilizando a identidade trigonométrica , substituímos na integral:
Onde m e m.

Passo 5

Substituindo os valores de e :
Calculando os termos:
Então:

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
Substituindo:

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental entre nm e nm é aproximadamente .

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