Considere novamente um elétron preso em uma região de comprimento
. (a) No estado fundamental, qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região de
a 0,0110 nm ? (b) No primeiro estado excitado, qual é a probabilidade de encontrar o elétron entre
e
? © Mostre que o valor médio de x é
, independente do estado quântico.
Passo 1
Então, temos um elétron preso em uma caixa com comprimento
metros, ou seja,
nanômetros. A questão aborda a probabilidade de encontrar o elétron em certas regiões dessa caixa nos estados fundamental e excitado, além de calcular o valor médio de
. Para resolver, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em uma caixa, especificamente as funções de onda e a distribuição de probabilidade.
Passo 2
Parte (a): Queremos encontrar a probabilidade de localizar o elétron no estado fundamental entre
nm e
nm.
Primeiro, identificamos a função de onda para o estado fundamental (
) da partícula na caixa:
A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, a probabilidade
fica:
Passo 4
Utilizando a identidade trigonométrica
, substituímos na integral:
Onde
m e
m.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
:
Calculando os termos:
Então:
Passo 6
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental entre
nm e
nm é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Um elétron está preso em uma região unidimensional de comprimento
(um diâmetro atômico típico). (a) Encontre as energias do estado fundamental e dos dois primeiros estados excitados. (b) Quanta energia deve ser fornecida para excitar o elétron do estado fundamental ao segundo estado excitado? © Do segundo estado excitado, o elétron decai para o primeiro estado excitado. Quanta energia é lançada neste processo?
Qual o melhor modelo (linear simples, exponencial, logaritmo e potência) que ajusta este conjunto de dados experimentais. Apresente os seguintes critérios de discriminação de modelos: SQR, DRM(%) e R
Ajuste estes dados aos seguintes modelos e com base nos critérios de discriminação de modelos, qual modelo você escolheria? Justifique sua escolha
Durante um acidente, um carro com as janelas fechadas mergulha em um lago e afunda a uma profundidade de 8 m . O ocupante tenta abrir a porta, mas não consegue, mesmo que a porta não pareça estar danificada.
Se a área externa da porta do carro é de , qual é a força que a água do lago exerce sobre ela?
Se a área externa da porta do carro é de