Considere novamente um elétron preso em uma região de comprimento
. (a) No estado fundamental, qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região de
a 0,0110 nm ? (b) No primeiro estado excitado, qual é a probabilidade de encontrar o elétron entre
e
? © Mostre que o valor médio de x é
, independente do estado quântico.
Passo 1
Então, temos um elétron preso em uma caixa com comprimento
metros, ou seja,
nanômetros. A questão aborda a probabilidade de encontrar o elétron em certas regiões dessa caixa nos estados fundamental e excitado, além de calcular o valor médio de
. Para resolver, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em uma caixa, especificamente as funções de onda e a distribuição de probabilidade.
Passo 2
Parte (a): Queremos encontrar a probabilidade de localizar o elétron no estado fundamental entre
nm e
nm.
Primeiro, identificamos a função de onda para o estado fundamental (
) da partícula na caixa:
A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, a probabilidade
fica:
Passo 4
Utilizando a identidade trigonométrica
, substituímos na integral:
Onde
m e
m.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
:
Calculando os termos:
Então:
Passo 6
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental entre
nm e
nm é aproximadamente
.