Considere novamente um elétron preso em uma região de comprimento 1,00 times 10^-10 m=0,100 nm. (a) No estado fundamental, qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região de x=0,0090 nm a 0,0110 nm ? (b) No primeiro estado excitado, qual é a probabilidade de encontrar o elétron entre x=0 e x=0,025 n m ? © Mostre que o valor médio de x é L / 2, independente do estado quântico.

Passo 1

Então, temos um elétron preso em uma caixa com comprimento metros, ou seja, nanômetros. A questão aborda a probabilidade de encontrar o elétron em certas regiões dessa caixa nos estados fundamental e excitado, além de calcular o valor médio de . Para resolver, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre partículas em uma caixa, especificamente as funções de onda e a distribuição de probabilidade.

Passo 2

Parte (a): Queremos encontrar a probabilidade de localizar o elétron no estado fundamental entre psi1(x) = raiz2L sin(pi xL) nm e P = integral0,0090 , nm^0,0110 , nm |psi1(x)|^2 dx nm.
Primeiro, identificamos a função de onda para o estado fundamental ( ) da partícula na caixa:
A probabilidade é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:

Passo 3

Vamos calcular |psi1(x)|^2 = (raiz2L sin(pi xL))^2 = 2L sin^2(pi xL) :
P = 2L integral0,0090 times 10^-9 , m^0,0110 times 10^-9 , m sin^2(pi xL) dx
Então, a probabilidade fica:

Passo 4

Utilizando a identidade trigonométrica P = 2L integrala^b 1 - cos(2pi xL)2 dx = 1L [ x - L2pi sin(2pi xL) ]a^b , substituímos na integral:
Onde m e m.

Passo 5

Substituindo os valores de P = 1L [ (b - a) - L2pi ( sin(2pi bL) - sin(2pi aL) ) ] e 2pi bL = 2pi times 0,0110 times 10^-91,00 times 10^-10 = 2pi times 0,11 = 0,22pi :
2pi aL = 2pi times 0,0090 times 10^-91,00 times 10^-10 = 2pi times 0,09 = 0,18pi
Calculando os termos:
P = 11,00 times 10^-10 [ (0,0110 - 0,0090) times 10^-9 - 1,00 times 10^-102pi ( sin(0,22pi) - sin(0,18pi) ) ]
Então:

Passo 6

Calculando os valores numéricos:
0,0110 - 0,0090 = 0,0020 , nm = 2,0 times 10^-12 , m
sin(0,22pi) approx sin(0,22 times 3,1416) approx sin(0,6912) approx 0,638
sin(0,18pi) approx sin(0,18 times 3,1416) approx sin(0,5655) approx 0,535
Substituindo:
P = 11,00 times 10^-10 [ 2,0 times 10^-12 - 1,00 times 10^-106,2832 (0,638 - 0,535) ]
P = 11,00 times 10^-10 [ 2,0 times 10^-12 - 1,00 times 10^-106,2832 times 0,103 ]
P = 11,00 times 10^-10 [ 2,0 times 10^-12 - 1,64 times 10^-12 ] = 0,36 times 10^-121,00 times 10^-10 = 0,0036

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron no estado fundamental entre nm e nm é aproximadamente .

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