Um elétron está preso em uma região unidimensional de comprimento 1,00 times 10^-10 m (um diâmetro atômico típico). (a) Encontre as energias do estado fundamental e dos dois primeiros estados excitados. (b) Quanta energia deve ser fornecida para excitar o elétron do estado fundamental ao segundo estado excitado? © Do segundo estado excitado, o elétron decai para o primeiro estado excitado. Quanta energia é lançada neste processo?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um elétron confinado em uma região unidimensional com comprimento , que é típico do diâmetro de um átomo. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o modelo da partícula na caixa (ou poço de potencial infinito) para encontrar as energias dos estados fundamentais e excitados desse elétron. Precisaremos das fórmulas para os níveis de energia quantizados nesse modelo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para as energias dos estados de uma partícula em uma caixa unidimensional:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • é a energia do estado ,
  • é o número quântico (1 para o estado fundamental, 2, 3, … para estados excitados),
  • é a constante de Planck ( ),
  • é a massa do elétron ( ),
  • é o comprimento da caixa.

Passo 3

Vamos calcular a energia do estado fundamental ( E1 = 1^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (1,00 times 10^-10)^2 ):
E1 = (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times 1,00 times 10^-20 approx 6,02 times 10^-19 , J
Vamos simplificar os cálculos:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
Convertendo para electronvolts (já que é uma unidade mais comum em física de partículas):
E1 approx 6,02 times 10^-191,602 times 10^-19 approx 3,76 , eV

Passo 4

Agora, calculamos as energias dos dois primeiros estados excitados ( E2 = 2^2 times h^28 m L^2 = 4 E1 approx 4 times 3,76 , eV = 15,04 , eV e E3 = 3^2 times h^28 m L^2 = 9 E1 approx 9 times 3,76 , eV = 33,84 , eV ):

Passo 5

Para a letra (b), queremos saber quanta energia é necessária para excitar o elétron do estado fundamental ( De) para o segundo estado excitado ( ):

Passo 6

Na letra ©, o elétron decai do segundo estado excitado ( De) para o primeiro estado excitado ( ). A energia emitida nesse processo é:

Resposta

(a) As energias são aproximadamente , e .
(b) A energia necessária para excitar o elétron do estado fundamental para o segundo estado excitado é .
© A energia emitida quando o elétron decai do segundo para o primeiro estado excitado é .

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