Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga :
A força por unidade de volume em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar , temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando , e tambem e o fato de que pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com :
O mesmo se aplica aos termos com , portanto a componente do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com (ou seja ), e (ou seja . Portanto o vetor de Pointing é , e
Assim, a componente da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção :
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como , temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento e energia totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada , temos a fórmula de Einstein .
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma questão sobre a força de Lorentz e como ela se relaciona com a força por unidade de volume em campos eletromagnéticos. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como a Lei de Ampère e a Lei de Faraday, além de entender um pouco sobre vetores e derivadas. Nosso objetivo é entender como a força nos campos eletromagnéticos está ligada à variação do momento e como isso se relaciona com a energia desses campos.

Passo 2

Primeiro, a força de Lorentz sobre uma carga é dada por:
Aqui, é o campo elétrico, é o campo magnético, e é a velocidade da carga. Essa força considera tanto a interação com o campo elétrico quanto a interação magnética que depende da velocidade da carga.

Passo 3

Queremos achar a força por unidade de volume, que chamamos de . Para isso, dividimos a força pelo volume :
Aqui, é a densidade de carga e é a densidade de corrente. Essa expressão nos mostra como a força atua por unidade de volume no meio.

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Ampère para substituir . A Lei de Ampère, em presença de campos variáveis no tempo, é:
Isolando :
Substituindo de volta em :

Passo 5

Vamos agora utilizar uma identidade vetorial importante para simplificar a expressão. A identidade é:
Sabemos, pela Lei de Faraday, que:
Substituindo isso na identidade:

Passo 6

Rearranjando a identidade, temos:
Agora, substituímos essa expressão na força por unidade de volume :

Passo 7

Usando a propriedade de troca de ordem no produto vetorial, , e sabendo que e , podemos reescrever como:
Ou seja:

Passo 8

Observamos que a força está relacionada com a derivada temporal do momento. O termo dentro dos colchetes pode ser escrito como um divergente geral, representando o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas e campos, de forma similar ao vetor de Poynting que lida com a energia. Para ilustrar, vamos calcular a componente dos termos envolvendo .

Passo 9

Considerando a componente :
Fazendo algumas manipulações vetoriais, chegamos à expressão:
onde é o vetor de Poynting.

Passo 10

Considerando uma onda onde e , o vetor de Poynting fica:
Substituindo na expressão da força por unidade de volume:

Passo 11

O lado esquerdo da equação representa a variação do momento das cargas na direção :
Portanto, temos:
Isso indica que a força por unidade de volume dos campos eletromagnéticos está relacionada com a variação temporal do momento dos campos.

Passo 12

Identificando o segundo termo como a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos:
onde é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos:

Passo 13

Finalmente, substituindo na equação anterior, temos:
Isso mostra que a variação temporal do momento total (cargas mais campos) está relacionada com o divergente do momento dos campos.

Passo 14

Como , onde é a densidade de energia dos campos, temos:
Multiplicando pela unidade de volume, obtemos as densidades de momento e energia totais:

Resposta

Portanto, concluímos que para campos eletromagnéticos, a energia está relacionada com o momento pela equação:

Exercícios relacionados

Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos, e , temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando , as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
(a) Estrela originam-se como grandes corpos de gás girando lentamente. Por causa da gravidade, esses aglomerados de gás diminuem de tamanho lentamente. O que acontece com a velocidade angular de uma estrela quando ela encolhe? (b) Por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar?
Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius , carries a
where is a constant and is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length , lies in the first quadrant of the plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field , (where is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.