Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga
:
A força por unidade de volume
em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar
, temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando
, e tambem
e o fato de que
pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor
fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente
dos termos com
:
O mesmo se aplica aos termos com
, portanto a componente
do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com
(ou seja
), e
(ou seja
. Portanto o vetor de Pointing é
, e
Assim, a componente
da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como
, temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento
e energia
totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada
, temos a fórmula de Einstein
.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,
, como acima para a radiação.
Vamos calcular por exemplo a componente
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma questão sobre a força de Lorentz e como ela se relaciona com a força por unidade de volume em campos eletromagnéticos. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como a Lei de Ampère e a Lei de Faraday, além de entender um pouco sobre vetores e derivadas. Nosso objetivo é entender como a força nos campos eletromagnéticos está ligada à variação do momento e como isso se relaciona com a energia desses campos.
Passo 2
Primeiro, a força de Lorentz sobre uma carga
é dada por:
Aqui,
é o campo elétrico,
é o campo magnético, e
é a velocidade da carga. Essa força considera tanto a interação com o campo elétrico quanto a interação magnética que depende da velocidade da carga.
Passo 3
Queremos achar a força por unidade de volume, que chamamos de
. Para isso, dividimos a força
pelo volume
:
Aqui,
é a densidade de carga e
é a densidade de corrente. Essa expressão nos mostra como a força atua por unidade de volume no meio.
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Ampère para substituir
. A Lei de Ampère, em presença de campos variáveis no tempo, é:
Isolando
:
Substituindo de volta em
:
Passo 5
Vamos agora utilizar uma identidade vetorial importante para simplificar a expressão. A identidade é:
Sabemos, pela Lei de Faraday, que:
Substituindo isso na identidade:
Passo 6
Rearranjando a identidade, temos:
Agora, substituímos essa expressão na força por unidade de volume
:
Passo 7
Usando a propriedade de troca de ordem no produto vetorial,
, e sabendo que
e
, podemos reescrever
como:
Ou seja:
Passo 8
Observamos que a força
está relacionada com a derivada temporal do momento. O termo dentro dos colchetes pode ser escrito como um divergente geral, representando o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas e campos, de forma similar ao vetor de Poynting
que lida com a energia. Para ilustrar, vamos calcular a componente
dos termos envolvendo
.
Passo 9
Considerando a componente
:
Fazendo algumas manipulações vetoriais, chegamos à expressão:
onde
é o vetor de Poynting.
Passo 10
Considerando uma onda onde
e
, o vetor de Poynting fica:
Substituindo na expressão da força por unidade de volume:
Passo 11
O lado esquerdo da equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto, temos:
Isso indica que a força por unidade de volume dos campos eletromagnéticos está relacionada com a variação temporal do momento dos campos.
Passo 12
Identificando o segundo termo como a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos:
Passo 13
Finalmente, substituindo
na equação anterior, temos:
Isso mostra que a variação temporal do momento total (cargas mais campos) está relacionada com o divergente do momento dos campos.
Passo 14
Como
, onde
é a densidade de energia dos campos, temos:
Multiplicando pela unidade de volume, obtemos as densidades de momento e energia totais:
Resposta
Portanto, concluímos que para campos eletromagnéticos, a energia
está relacionada com o momento
pela equação:
Exercícios relacionados
Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos,
e
, temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando
, as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
(a) Estrela originam-se como grandes corpos de gás girando lentamente. Por causa da gravidade, esses aglomerados de gás diminuem de tamanho lentamente. O que acontece com a velocidade angular de uma estrela quando ela encolhe? (b) Por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar?
Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius
, carries a
where
is a constant and
is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length
, lies in the first quadrant of the
plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field , (where
is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.
dependent magnetic field