Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga
:
A força por unidade de volume
em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar
, temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando
, e tambem
e o fato de que
pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor
fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente
dos termos com
:
O mesmo se aplica aos termos com
, portanto a componente
do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com
(ou seja
), e
(ou seja
. Portanto o vetor de Pointing é
, e
Assim, a componente
da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como
, temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento
e energia
totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada
, temos a fórmula de Einstein
.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,
, como acima para a radiação.
Vamos calcular por exemplo a componente
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma questão sobre a força de Lorentz e como ela se relaciona com a força por unidade de volume em campos eletromagnéticos. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como a Lei de Ampère e a Lei de Faraday, além de entender um pouco sobre vetores e derivadas. Nosso objetivo é entender como a força nos campos eletromagnéticos está ligada à variação do momento e como isso se relaciona com a energia desses campos.
Passo 2
Primeiro, a força de Lorentz sobre uma carga
é dada por:
Aqui,
é o campo elétrico,
é o campo magnético, e
é a velocidade da carga. Essa força considera tanto a interação com o campo elétrico quanto a interação magnética que depende da velocidade da carga.
Passo 3
Queremos achar a força por unidade de volume, que chamamos de
. Para isso, dividimos a força
pelo volume
:
Aqui,
é a densidade de carga e
é a densidade de corrente. Essa expressão nos mostra como a força atua por unidade de volume no meio.
Passo 4
Agora, vamos usar a Lei de Ampère para substituir
. A Lei de Ampère, em presença de campos variáveis no tempo, é:
Isolando
:
Substituindo de volta em
:
Passo 5
Vamos agora utilizar uma identidade vetorial importante para simplificar a expressão. A identidade é:
Sabemos, pela Lei de Faraday, que:
Substituindo isso na identidade:
Passo 6
Rearranjando a identidade, temos:
Agora, substituímos essa expressão na força por unidade de volume
:
Passo 7
Usando a propriedade de troca de ordem no produto vetorial,
, e sabendo que
e
, podemos reescrever
como:
Ou seja:
Passo 8
Observamos que a força
está relacionada com a derivada temporal do momento. O termo dentro dos colchetes pode ser escrito como um divergente geral, representando o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas e campos, de forma similar ao vetor de Poynting
que lida com a energia. Para ilustrar, vamos calcular a componente
dos termos envolvendo
.
Passo 9
Considerando a componente
:
Fazendo algumas manipulações vetoriais, chegamos à expressão:
onde
é o vetor de Poynting.
Passo 10
Considerando uma onda onde
e
, o vetor de Poynting fica:
Substituindo na expressão da força por unidade de volume:
Passo 11
O lado esquerdo da equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto, temos:
Isso indica que a força por unidade de volume dos campos eletromagnéticos está relacionada com a variação temporal do momento dos campos.
Passo 12
Identificando o segundo termo como a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos:
Passo 13
Finalmente, substituindo
na equação anterior, temos:
Isso mostra que a variação temporal do momento total (cargas mais campos) está relacionada com o divergente do momento dos campos.
Passo 14
Como
, onde
é a densidade de energia dos campos, temos:
Multiplicando pela unidade de volume, obtemos as densidades de momento e energia totais:
Resposta
Portanto, concluímos que para campos eletromagnéticos, a energia
está relacionada com o momento
pela equação: