Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga q :
F=q E+q v times B
A força por unidade de volume f em uma região fica
f=FDe
Usando a Lei de Ampere para eliminar j, temos
f=rho E+(nabla times Bmu0-epsilon0 partial Epartial t) times B
Por outro lado, temos a identidade:
partialpartial t(E times B) & =partial Epartial t times B+E times partial Bpartial t & =partial Epartial t times B-E times(nabla times E)
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
epsilon0 partial Epartial t times B=epsilon0 partialpartial t(E times B)+epsilon0 E times(nabla times E)
Portanto, a força por unidade de volume fica
f=rho E+nabla times Bmu0 times B-epsilon0 partialpartial t(E times B)-epsilon0 E times(nabla times E)
Finalmente, usando A times B=-B times A, e tambem rho=epsilon0 nabla cdot E e o fato de que nabla cdot B=0 pode ser inserido sem alterar a equação, temos
f & =rho E-(B times(nabla times B)mu0+epsilon0 E times(nabla times E))-mu0 epsilon0 partialpartial t(E times Bmu0) & =[epsilon0(nabla cdot E) E+B(nabla cdot B)mu0-(B times(nabla times B)mu0+epsilon0 E times(nabla times E))]-partialpartial t(Sc^2)
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor S fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente z dos termos com E :
[(nabla cdot E) E & -E times(nabla times E)]z & =(partial Expartial x+partial Eypartial y+partial Ezpartial z) Ez-Ex(partial Expartial z-partial Ezpartial x)+Ey(partial Ezpartial y-partial Eypartial z) & =partial(Ex Ez)partial x+partial(Ey Ez)partial y-12 partial(Ex^2+Ey^2-Ez^2)partial z & =nabla cdot(Ex Ez, Ey Ez, -(Ex^2+Ey^2-Ez^2)2) & =-nabla cdot(-Ex Ez,-Ey Ez, (E^2-2 Ez^2)2)
O mesmo se aplica aos termos com B, portanto a componente z do colchete da Eq. 11.63 fica:
[ldots]z=-nabla cdot(-epsilon0 Ex Ez-1mu0 Bx Bz,-epsilon0 Ey Ez-1mu0 By Bz, epsilon0(E^2-2 Ez^2)2+(B^2-2 Bz^2)2 mu0)(1
Vamos consider o caso da onda com E=E x (ou seja Ey=Ez=0 ), e B=E / c y (ou seja Bx=Bz=0). Portanto o vetor de Pointing é S=epsilon0 E^2 c z=epsilon0 E^2 c, e
[cdots]z & =-nabla cdot(0,0, epsilon0 E^22+B^22 mu0) & =-nabla cdot(0,0, epsilon0 E^2) & =-nabla cdot(epsilon0 E^2 z)=-nabla cdot(epsilon0 E^2 cc^2 c z)=-nabla cdot(Sc^2 c)
Assim, a componente z da Eq. 11.63 fica:
fz=-nabla cdot(Sc^2 c)-partialpartial t(Sc^2)
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção z :
fz=partial p carga partial t
Portanto
partial p carga partial t+partialpartial t(Sc^2)=-nabla cdot(Sc^2 c)
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
fE M=partialpartial t(Sc^2)=partial pE Mpartial t
onde pE M é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
pE M=Sc^2
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
partial(pcarga+pE M)partial t=-nabla cdot(pE M c)
Como S=(uE M c) c, temos
pE M=uE Mc c
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento PE M e energia UE M totais no volume, e temos:
PE M=UE Mc c ou U=P c para campos EM
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
U=raiz(P c)^2+(m c^2)^2
Quando a partícula está parada (P=0), temos a fórmula de Einstein U=m c^2.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, U=P c, como acima para a radiação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma questão sobre a força de Lorentz e como ela se relaciona com a força por unidade de volume em campos eletromagnéticos. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como a Lei de Ampère e a Lei de Faraday, além de entender um pouco sobre vetores e derivadas. Nosso objetivo é entender como a força nos campos eletromagnéticos está ligada à variação do momento e como isso se relaciona com a energia desses campos.

Passo 2

Primeiro, a força de Lorentz sobre uma carga F = q E + q v times B é dada por:
Aqui, é o campo elétrico, é o campo magnético, e é a velocidade da carga. Essa força considera tanto a interação com o campo elétrico quanto a interação magnética que depende da velocidade da carga.

Passo 3

Queremos achar a força por unidade de volume, que chamamos de f = FDe. Para isso, dividimos a força pelo volume :
Aqui, é a densidade de carga e é a densidade de corrente. Essa expressão nos mostra como a força atua por unidade de volume no meio.

Passo 4

Agora, vamos usar a Lei de Ampère para substituir nabla times B = mu0 j + mu0 epsilon0 partial Epartial t . A Lei de Ampère, em presença de campos variáveis no tempo, é:
j = nabla times Bmu0 - epsilon0 partial Epartial t
Isolando f = rho E + (nabla times Bmu0 - epsilon0 partial Epartial t) times B :
Substituindo de volta em :

Passo 5

Vamos agora utilizar uma identidade vetorial importante para simplificar a expressão. A identidade é:
partialpartial t(E times B) = partial Epartial t times B + E times partial Bpartial t
Sabemos, pela Lei de Faraday, que:
partial Bpartial t = -nabla times E
Substituindo isso na identidade:
partialpartial t(E times B) = partial Epartial t times B - E times (nabla times E)

Passo 6

Rearranjando a identidade, temos:
epsilon0 partial Epartial t times B = epsilon0 partialpartial t(E times B) + epsilon0 E times (nabla times E)
Agora, substituímos essa expressão na força por unidade de volume f = rho E + nabla times Bmu0 times B - epsilon0 partialpartial t(E times B) - epsilon0 E times (nabla times E) :

Passo 7

Usando a propriedade de troca de ordem no produto vetorial, f = epsilon0 (nabla cdot E) E - (B times (nabla times B)mu0 + epsilon0 E times (nabla times E)) - mu0 epsilon0 partialpartial t(E times Bmu0) , e sabendo que f = [epsilon0 (nabla cdot E) E - (B times (nabla times B)mu0 + epsilon0 nabla times E times E)] - partialpartial t(Sc^2) e , podemos reescrever como:
Ou seja:

Passo 8

Observamos que a força está relacionada com a derivada temporal do momento. O termo dentro dos colchetes pode ser escrito como um divergente geral, representando o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas e campos, de forma similar ao vetor de Poynting que lida com a energia. Para ilustrar, vamos calcular a componente dos termos envolvendo .

Passo 9

Considerando a componente [(nabla cdot E) E - E times (nabla times E)]z = nabla cdot (epsilon0 E^22 z) :
[ldots]z = -nabla cdot (Sc^2 c)
Fazendo algumas manipulações vetoriais, chegamos à expressão:
onde é o vetor de Poynting.

Passo 10

Considerando uma onda onde S = epsilon0 E^2 c z e fz = -nabla cdot (Sc^2 c) - partialpartial t(Sc^2) , o vetor de Poynting fica:
Substituindo na expressão da força por unidade de volume:

Passo 11

O lado esquerdo da equação representa a variação do momento das cargas na direção fz = partial pcargapartial t :
partial pcargapartial t + partialpartial t(Sc^2) = -nabla cdot (Sc^2 c)
Portanto, temos:
Isso indica que a força por unidade de volume dos campos eletromagnéticos está relacionada com a variação temporal do momento dos campos.

Passo 12

Identificando o segundo termo como a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos:
fEM = partialpartial t(Sc^2) = partial pEMpartial t
onde pEM = Sc^2 é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos:

Passo 13

Finalmente, substituindo partial (pcarga + pEM)partial t = -nabla cdot (pEM c) na equação anterior, temos:
Isso mostra que a variação temporal do momento total (cargas mais campos) está relacionada com o divergente do momento dos campos.

Passo 14

Como pEM = uEMc c , onde PEM = UEMc c ou U = P c para campos EM é a densidade de energia dos campos, temos:
Multiplicando pela unidade de volume, obtemos as densidades de momento e energia totais:

Resposta

Portanto, concluímos que para campos eletromagnéticos, a energia U = P c está relacionada com o momento pela equação:

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