Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length
, lies in the first quadrant of the
plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field
, (where
is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.
dependent magnetic field
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um loop quadrado de arame, com lados de comprimento
, posicionado no primeiro quadrante do plano
, com um canto na origem. Nesse espaço, há um campo magnético que varia com a posição
e com o tempo
, dado por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a força eletromotriz (e.m.f.) induzida nesse loop.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético através do loop com a e.m.f. induzida. Também vamos precisar entender como calcular o fluxo magnético quando o campo não é uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que diz que a e.m.f. induzida
em um circuito é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético
através desse circuito:
Então, para encontrar
, precisamos calcular o fluxo magnético
que passa pelo loop e depois derivá-lo em relação ao tempo.
Passo 3
O fluxo magnético
é dado pela integral do campo magnético
sobre a área
do loop:
No nosso caso, o campo magnético está na direção
, e a área do loop também está perpendicular a essa direção, então o produto escalar simplifica para:
Como
, podemos substituir:
Passo 4
Vamos resolver a integral dupla. Primeiro, integramos em
de 0 a
:
Como
não depende de
, a integral em
é simplesmente
:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos o fluxo magnético
, vamos usar a Lei de Faraday para encontrar a e.m.f. induzida
:
Calculando a derivada em relação ao tempo
:
Portanto,
Resposta
A e.m.f. induzida no loop é
.
Exercícios relacionados
Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius
, carries a
where
is a constant and
is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga
:
A força por unidade de volume
em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar
, temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando
, e tambem
e o fato de que
pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor
fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com
:
Vamos calcular por exemplo a componente
O mesmo se aplica aos termos com
, portanto a componente
do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com
(ou seja
), e
(ou seja
. Portanto o vetor de Pointing é
, e
Assim, a componente
da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como
, temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento
e energia
totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada
, temos a fórmula de Einstein
.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,
Problem 7.33 An infinite cylinder of radius
carries a uniform surface charge
. We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity
. How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of , and
(the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length
.
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
Problem 7.12. A long solenoid, of radius
, is driven by an alternating current, so that the field inside is sinusoidal:
. A circular loop of wire, of radius
and resistance
, is placed inside the solenoid, and coaxial with it. Find the current induced in the loop, as a function of time.