Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length a, lies in the first quadrant of the x y plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field B(y, t)=K y^3 t^2 z, (where k is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um loop quadrado de arame, com lados de comprimento , posicionado no primeiro quadrante do plano , com um canto na origem. Nesse espaço, há um campo magnético que varia com a posição e com o tempo , dado por , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a força eletromotriz (e.m.f.) induzida nesse loop.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético através do loop com a e.m.f. induzida. Também vamos precisar entender como calcular o fluxo magnético quando o campo não é uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que diz que a e.m.f. induzida E = -dPhidt em um circuito é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através desse circuito:
Então, para encontrar , precisamos calcular o fluxo magnético que passa pelo loop e depois derivá-lo em relação ao tempo.

Passo 3

O fluxo magnético Phi = integralA B cdot dA é dado pela integral do campo magnético Phi = integral0^a integral0^a B(y, t) , dx , dy sobre a área Phi = integral0^a integral0^a K y^3 t^2 , dx , dy do loop:
No nosso caso, o campo magnético está na direção , e a área do loop também está perpendicular a essa direção, então o produto escalar simplifica para:
Como , podemos substituir:

Passo 4

Vamos resolver a integral dupla. Primeiro, integramos em Phi = integral0^a ( integral0^a K y^3 t^2 , dx ) dy de 0 a Phi = integral0^a K y^3 t^2 cdot a , dy = K a t^2 integral0^a y^3 , dy :
Como não depende de , a integral em é simplesmente :

Passo 5

Agora, vamos integrar integral0^a y^3 , dy = [ y^44 ]0^a = a^44 em relação a Phi = K a t^2 cdot a^44 = K a^5 t^24 :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos o fluxo magnético E = -dPhidt = -ddt ( K a^5 t^24 ) , vamos usar a Lei de Faraday para encontrar a e.m.f. induzida ddt ( K a^5 t^24 ) = K a^54 cdot 2t = K a^5 t2 :
E = -K a^5 t2
Calculando a derivada em relação ao tempo :
Portanto,

Resposta

A e.m.f. induzida no loop é .

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