Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length
, lies in the first quadrant of the
plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field
, (where
is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.
dependent magnetic field
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um loop quadrado de arame, com lados de comprimento
, posicionado no primeiro quadrante do plano
, com um canto na origem. Nesse espaço, há um campo magnético que varia com a posição
e com o tempo
, dado por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a força eletromotriz (e.m.f.) induzida nesse loop.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético através do loop com a e.m.f. induzida. Também vamos precisar entender como calcular o fluxo magnético quando o campo não é uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que diz que a e.m.f. induzida
em um circuito é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético
através desse circuito:
Então, para encontrar
, precisamos calcular o fluxo magnético
que passa pelo loop e depois derivá-lo em relação ao tempo.
Passo 3
O fluxo magnético
é dado pela integral do campo magnético
sobre a área
do loop:
No nosso caso, o campo magnético está na direção
, e a área do loop também está perpendicular a essa direção, então o produto escalar simplifica para:
Como
, podemos substituir:
Passo 4
Vamos resolver a integral dupla. Primeiro, integramos em
de 0 a
:
Como
não depende de
, a integral em
é simplesmente
:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos o fluxo magnético
, vamos usar a Lei de Faraday para encontrar a e.m.f. induzida
:
Calculando a derivada em relação ao tempo
:
Portanto,
Resposta
A e.m.f. induzida no loop é
.