Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length , lies in the first quadrant of the plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field , (where is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um loop quadrado de arame, com lados de comprimento , posicionado no primeiro quadrante do plano , com um canto na origem. Nesse espaço, há um campo magnético que varia com a posição e com o tempo , dado por , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a força eletromotriz (e.m.f.) induzida nesse loop.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que relaciona a variação do fluxo magnético através do loop com a e.m.f. induzida. Também vamos precisar entender como calcular o fluxo magnético quando o campo não é uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Faraday, que diz que a e.m.f. induzida em um circuito é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético através desse circuito:
Então, para encontrar , precisamos calcular o fluxo magnético que passa pelo loop e depois derivá-lo em relação ao tempo.

Passo 3

O fluxo magnético é dado pela integral do campo magnético sobre a área do loop:
No nosso caso, o campo magnético está na direção , e a área do loop também está perpendicular a essa direção, então o produto escalar simplifica para:
Como , podemos substituir:

Passo 4

Vamos resolver a integral dupla. Primeiro, integramos em de 0 a :
Como não depende de , a integral em é simplesmente :

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos o fluxo magnético , vamos usar a Lei de Faraday para encontrar a e.m.f. induzida :
Calculando a derivada em relação ao tempo :
Portanto,

Resposta

A e.m.f. induzida no loop é .

Exercícios relacionados

Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius , carries a
where is a constant and is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga :
A força por unidade de volume em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar , temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando , e tambem e o fato de que pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com :
O mesmo se aplica aos termos com , portanto a componente do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com (ou seja ), e (ou seja . Portanto o vetor de Pointing é , e
Assim, a componente da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção :
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como , temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento e energia totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada , temos a fórmula de Einstein .
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.
Problem 7.33 An infinite cylinder of radius carries a uniform surface charge . We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity . How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of , and (the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length .
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
Problem 7.12. A long solenoid, of radius , is driven by an alternating current, so that the field inside is sinusoidal: . A circular loop of wire, of radius and resistance , is placed inside the solenoid, and coaxial with it. Find the current induced in the loop, as a function of time.