Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius , carries a
where is a constant and is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com magnetização , onde é uma constante e é a distância do eixo. Não tem corrente livre no cilindro. Nosso objetivo é encontrar o campo magnético dentro e fora do cilindro usando dois métodos diferentes:
a) Identificar as correntes ligadas (bound currents) e calcular o campo que elas produzem.
b) Usar a Lei de Ampère para determinar o campo.
Vamos precisar entender como encontrar as correntes ligadas a partir da magnetização e depois aplicar as leis do magnetismo para calcular o campo magnético.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos identificar as correntes ligadas. Sabemos que, em materiais magnetizados, existem dois tipos de correntes ligadas:
Corrente de superfície ligada (): dada por , onde é a normal à superfície.
Corrente de volume ligada (): dada por .
Passo 3
Vamos começar calculando a corrente de volume ligada . Temos . Em coordenadas cilíndricas, onde é a distância radial, é a direção do eixo.
Calculando o rotor () em coordenadas cilíndricas:
Como não depende de nem de e tem apenas componente , simplifica para:
Então, a corrente de volume ligada é .
Passo 4
Agora, vamos calcular a corrente de superfície ligada . A normal à superfície de um cilindro é . Então:
Na superfície , então:
Portanto, a corrente de superfície ligada é .
Passo 5
Agora que temos as correntes ligadas, vamos encontrar o campo magnético causado por elas. Vamos considerar a simetria do problema: o cilindro é infinito e magnetizado uniformemente, então o campo magnético também será simétrico.
Primeiro, vamos analisar a contribuição das correntes de volume ligadas (). Essa corrente é distribuída por todo o volume do cilindro e produz um campo magnético que pode ser calculado usando a Lei de Ampère adaptada para correntes contínuas.
Passo 6
Para um cilindro longo com corrente distribuída uniformemente, o campo magnético dentro e fora do cilindro pode ser encontrado usando a simetria cilíndrica. A contribuição da corrente de volume ligada para o campo magnético dentro do cilindro () é:
onde é a corrente total encerrada por um caminho de ampère de raio .
Calculando para :
Então:
Passo 7
Fora do cilindro (), toda a corrente de volume está incluída, então:
Portanto, o campo magnético fora do cilindro é:
Passo 8
Agora, vamos considerar a contribuição da corrente de superfície ligada . Essa corrente está na superfície e gera um campo magnético apenas fora do cilindro. Usando a Lei de Ampère para uma corrente de superfície:
Onde .
Então, para :
Passo 9
Agora, somamos as contribuições das correntes de volume e superfície:
Dentro do cilindro ():
Fora do cilindro ():
Passo 10
Parte b) Agora, vamos usar a Lei de Ampère diretamente para encontrar o campo magnético. A Lei de Ampère nos diz que:
Onde é a corrente total encerrada pelo caminho de integração.
Passo 11
Primeiro, encontramos a corrente total encerrada pela Lei de Ampère. Como não há correntes livres, apenas as correntes ligadas contribuem: