Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius , carries a
where is a constant and is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com magnetização , onde é uma constante e é a distância do eixo. Não tem corrente livre no cilindro. Nosso objetivo é encontrar o campo magnético dentro e fora do cilindro usando dois métodos diferentes:
a) Identificar as correntes ligadas (bound currents) e calcular o campo que elas produzem.
b) Usar a Lei de Ampère para determinar o campo.
Vamos precisar entender como encontrar as correntes ligadas a partir da magnetização e depois aplicar as leis do magnetismo para calcular o campo magnético.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos identificar as correntes ligadas. Sabemos que, em materiais magnetizados, existem dois tipos de correntes ligadas:
  • Corrente de superfície ligada ( ): dada por , onde é a normal à superfície.
  • Corrente de volume ligada ( ): dada por .

Passo 3

Vamos começar calculando a corrente de volume ligada . Temos . Em coordenadas cilíndricas, onde é a distância radial, é a direção do eixo.
Calculando o rotor ( ) em coordenadas cilíndricas:
Como não depende de nem de e tem apenas componente , simplifica para:
Então, a corrente de volume ligada é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a corrente de superfície ligada . A normal à superfície de um cilindro é . Então:
Na superfície , então:
Portanto, a corrente de superfície ligada é .

Passo 5

Agora que temos as correntes ligadas, vamos encontrar o campo magnético causado por elas. Vamos considerar a simetria do problema: o cilindro é infinito e magnetizado uniformemente, então o campo magnético também será simétrico.
Primeiro, vamos analisar a contribuição das correntes de volume ligadas ( ). Essa corrente é distribuída por todo o volume do cilindro e produz um campo magnético que pode ser calculado usando a Lei de Ampère adaptada para correntes contínuas.

Passo 6

Para um cilindro longo com corrente distribuída uniformemente, o campo magnético dentro e fora do cilindro pode ser encontrado usando a simetria cilíndrica. A contribuição da corrente de volume ligada para o campo magnético dentro do cilindro ( ) é:
onde é a corrente total encerrada por um caminho de ampère de raio .
Calculando para :
Então:

Passo 7

Fora do cilindro ( ), toda a corrente de volume está incluída, então:
Portanto, o campo magnético fora do cilindro é:

Passo 8

Agora, vamos considerar a contribuição da corrente de superfície ligada . Essa corrente está na superfície e gera um campo magnético apenas fora do cilindro. Usando a Lei de Ampère para uma corrente de superfície:
íí
Onde í.
Então, para :
í

Passo 9

Agora, somamos as contribuições das correntes de volume e superfície:
  • Dentro do cilindro ( ):
  • Fora do cilindro ( ):
í

Passo 10

Parte b) Agora, vamos usar a Lei de Ampère diretamente para encontrar o campo magnético. A Lei de Ampère nos diz que:
Onde é a corrente total encerrada pelo caminho de integração.

Passo 11

Primeiro, encontramos a corrente total encerrada pela Lei de Ampère. Como não há correntes livres, apenas as correntes ligadas contribuem:
í
Já calculamos essas correntes na parte a):
  • para
  • í para

Passo 12

Aplicando a Lei de Ampère para :
Resolvendо para :

Passo 13

Para , a corrente total encerrada é:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para :

Resposta

O campo magnético é dado por:

Exercícios relacionados

Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga :
A força por unidade de volume em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar , temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando , e tambem e o fato de que pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com :
O mesmo se aplica aos termos com , portanto a componente do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com (ou seja ), e (ou seja . Portanto o vetor de Pointing é , e
Assim, a componente da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção :
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como , temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento e energia totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada , temos a fórmula de Einstein .
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.
Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos, e , temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando , as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length , lies in the first quadrant of the plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field , (where is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.
Problem 7.33 An infinite cylinder of radius carries a uniform surface charge . We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity . How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of , and (the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length .
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.