Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius
, carries a
where
is a constant and
is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com magnetização
, onde
é uma constante e
é a distância do eixo. Não tem corrente livre no cilindro. Nosso objetivo é encontrar o campo magnético dentro e fora do cilindro usando dois métodos diferentes:
a) Identificar as correntes ligadas (bound currents) e calcular o campo que elas produzem.
b) Usar a Lei de Ampère para determinar o campo.
Vamos precisar entender como encontrar as correntes ligadas a partir da magnetização e depois aplicar as leis do magnetismo para calcular o campo magnético.
a) Identificar as correntes ligadas (bound currents) e calcular o campo que elas produzem.
b) Usar a Lei de Ampère para determinar o campo.
Vamos precisar entender como encontrar as correntes ligadas a partir da magnetização e depois aplicar as leis do magnetismo para calcular o campo magnético.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos identificar as correntes ligadas. Sabemos que, em materiais magnetizados, existem dois tipos de correntes ligadas:
- Corrente de superfície ligada (
): dada por , onde é a normal à superfície. - Corrente de volume ligada (
): dada por .
Passo 3
Vamos começar calculando a corrente de volume ligada
. Temos
. Em coordenadas cilíndricas, onde
é a distância radial,
é a direção do eixo.
Calculando o rotor (
) em coordenadas cilíndricas:
Como
não depende de
nem de
e tem apenas componente
, simplifica para:
Então, a corrente de volume ligada é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a corrente de superfície ligada
. A normal à superfície de um cilindro é
. Então:
Na superfície
, então:
Portanto, a corrente de superfície ligada é
.
Passo 5
Agora que temos as correntes ligadas, vamos encontrar o campo magnético causado por elas. Vamos considerar a simetria do problema: o cilindro é infinito e magnetizado uniformemente, então o campo magnético também será simétrico.
Primeiro, vamos analisar a contribuição das correntes de volume ligadas (
). Essa corrente é distribuída por todo o volume do cilindro e produz um campo magnético que pode ser calculado usando a Lei de Ampère adaptada para correntes contínuas.
Passo 6
Para um cilindro longo com corrente distribuída uniformemente, o campo magnético dentro e fora do cilindro pode ser encontrado usando a simetria cilíndrica. A contribuição da corrente de volume ligada
para o campo magnético dentro do cilindro (
) é:
onde
é a corrente total encerrada por um caminho de ampère de raio
.
Calculando
para
:
Então:
Passo 7
Fora do cilindro (
), toda a corrente de volume está incluída, então:
Portanto, o campo magnético fora do cilindro é:
Passo 8
Agora, vamos considerar a contribuição da corrente de superfície ligada
. Essa corrente está na superfície
e gera um campo magnético apenas fora do cilindro. Usando a Lei de Ampère para uma corrente de superfície:
Onde
.
Então, para
:
Passo 9
Agora, somamos as contribuições das correntes de volume e superfície:
- Dentro do cilindro (
):
- Fora do cilindro (
):
Passo 10
Parte b) Agora, vamos usar a Lei de Ampère diretamente para encontrar o campo magnético. A Lei de Ampère nos diz que:
Onde
é a corrente total encerrada pelo caminho de integração.
Passo 11
Primeiro, encontramos a corrente total encerrada pela Lei de Ampère. Como não há correntes livres, apenas as correntes ligadas contribuem:
Já calculamos essas correntes na parte a):
-
para -
para
Passo 12
Aplicando a Lei de Ampère para
:
Resolvendо para
:
Passo 13
Para
, a corrente total encerrada é:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo magnético
é dado por: