Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius R, carries a
M=k s Z
where k is a constant and s is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um cilindro infinito com magnetização , onde é uma constante e é a distância do eixo. Não tem corrente livre no cilindro. Nosso objetivo é encontrar o campo magnético dentro e fora do cilindro usando dois métodos diferentes:
a) Identificar as correntes ligadas (bound currents) e calcular o campo que elas produzem.
b) Usar a Lei de Ampère para determinar o campo.
Vamos precisar entender como encontrar as correntes ligadas a partir da magnetização e depois aplicar as leis do magnetismo para calcular o campo magnético.

Passo 2

Parte a) Primeiro, vamos identificar as correntes ligadas. Sabemos que, em materiais magnetizados, existem dois tipos de correntes ligadas:
  • Corrente de superfície ligada ( ): dada por , onde é a normal à superfície.
  • Corrente de volume ligada ( ): dada por .

Passo 3

Vamos começar calculando a corrente de volume ligada nabla times M = 1s ( partial (MZ)partial phi - partial (Mphi)partial Z ) s + ( partial (Ms)partial Z - partial (MZ)partial s ) phi + 1s ( partial (s Mphi)partial s - partial Mspartial phi ) Z . Temos Jb = -partial MZpartial s phi = -partial (k s)partial s phi = -k phi . Em coordenadas cilíndricas, onde é a distância radial, é a direção do eixo.
Calculando o rotor ( ) em coordenadas cilíndricas:
Como não depende de nem de e tem apenas componente , simplifica para:
Então, a corrente de volume ligada é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a corrente de superfície ligada Kb = M times n = (k s Z) times s = k s (Z times s) = k s phi . A normal à superfície de um cilindro é Kb = k R phi . Então:
Na superfície , então:
Portanto, a corrente de superfície ligada é .

Passo 5

Agora que temos as correntes ligadas, vamos encontrar o campo magnético causado por elas. Vamos considerar a simetria do problema: o cilindro é infinito e magnetizado uniformemente, então o campo magnético também será simétrico.
Primeiro, vamos analisar a contribuição das correntes de volume ligadas ( ). Essa corrente é distribuída por todo o volume do cilindro e produz um campo magnético que pode ser calculado usando a Lei de Ampère adaptada para correntes contínuas.

Passo 6

Para um cilindro longo com corrente distribuída uniformemente, o campo magnético dentro e fora do cilindro pode ser encontrado usando a simetria cilíndrica. A contribuição da corrente de volume ligada Bvolume(s) = mu0 Ienc2pi s para o campo magnético dentro do cilindro ( Ienc = integral0^s Jb cdot 2pi s' ds' = integral0^s (-k) cdot 2pi s' ds' = -2pi k s^22 = -pi k s^2 ) é:
Bvolume(s) = mu0 -pi k s^22pi s = -mu0 k s2
onde é a corrente total encerrada por um caminho de ampère de raio .
Calculando para :
Então:

Passo 7

Fora do cilindro ( Ienc = -pi k R^2 ), toda a corrente de volume está incluída, então:
Bvolume(s) = mu0 -pi k R^22pi s = -mu0 k R^22 s
Portanto, o campo magnético fora do cilindro é:

Passo 8

Agora, vamos considerar a contribuição da corrente de superfície ligada Bsuperfície(s) = mu0 Isuperfície2pi s . Essa corrente está na superfície Bsuperfície(s) = mu0 2pi k R^22pi s = mu0 k R^2s e gera um campo magnético apenas fora do cilindro. Usando a Lei de Ampère para uma corrente de superfície:
íí
Onde í.
Então, para :
í

Passo 9

Agora, somamos as contribuições das correntes de volume e superfície:
  • Dentro do cilindro ( Btotal(s) = Bvolume(s) = -mu0 k s2 ):
Btotal(s) = Bvolume(s) + Bsuperfície(s) = -mu0 k R^22 s + mu0 k R^2s = mu0 k R^22 s
  • Fora do cilindro ( ):
í

Passo 10

Parte b) Agora, vamos usar a Lei de Ampère diretamente para encontrar o campo magnético. A Lei de Ampère nos diz que:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde é a corrente total encerrada pelo caminho de integração.

Passo 11

Primeiro, encontramos a corrente total encerrada pela Lei de Ampère. Como não há correntes livres, apenas as correntes ligadas contribuem:
Ienc = Ivolume + Isuperfície í
Já calculamos essas correntes na parte a):
  • para
  • í para

Passo 12

Aplicando a Lei de Ampère para oint B cdot dl = B(2pi s) = mu0 (-pi k s^2) :
B = mu0 (-pi k s^2)2pi s = -mu0 k s2
Resolvendо para :

Passo 13

Para Ienc = -pi k R^2 + 2pi k R^2 = pi k R^2 , a corrente total encerrada é:
oint B cdot dl = B(2pi s) = mu0 (pi k R^2)
Aplicando a Lei de Ampère:
B = mu0 pi k R^22pi s = mu0 k R^22 s
Resolvendo para :

Resposta

O campo magnético B(s) = -dfracmu0 k s2 phi & para s < R dfracmu0 k R^22 s phi & para s > R é dado por:

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