Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos,
e
, temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando
, as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as Equações de Maxwell quando há cargas (ρ) e correntes (j) presentes. O conteúdo aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre como os potenciais eletromagnéticos (φ e A) se relacionam com os campos elétrico (E) e magnético (B). Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dos potenciais, as Equações de Maxwell, e o conceito de calibre de Lorenz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como definir os campos elétrico e magnético usando os potenciais eletromagnéticos:
Aqui, φ é o potencial escalar e A é o potencial vetorial. Essas definições nos ajudam a reformular as Equações de Maxwell em termos de φ e A.
Passo 3
Vamos aplicar a divergência no campo elétrico E. Usando a definição de E:
Isso resulta em:
De acordo com uma das Equações de Maxwell:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a equação de rotacional do campo magnético B:
Substituindo B pela expressão em termos de A:
Usando a identidade vetorial:
Então,
Rearranjando,
Passo 5
Até aqui, temos duas equações que relacionam os potenciais φ e A:
- Para φ:
- Para A:
Passo 6
Agora, escolhemos o calibre de Lorenz, que é uma condição que simplifica as equações. No calibre de Lorenz, impomos que:
Com essa escolha, a equação para A simplifica, já que o termo entre parênteses se anula:
Passo 7
Além disso, sabemos que a velocidade da luz
está relacionada aos parâmetros do vácuo por:
Usando essa relação e aplicando o calibre de Lorenz nas equações para φ e A, obtemos as equações de onda para os potenciais:
Para φ:
Para A:
Resposta
Assim, concluímos que, no calibre de Lorenz, os potenciais eletromagnéticos
e
satisfazem equações de onda não-homogêneas, onde
é influenciado pela densidade de carga
e A pela densidade de corrente
. No vácuo, onde
e
, essas equações se tornam equações de onda homogêneas, indicando que os potenciais se propagam como ondas.
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(a) Estrela originam-se como grandes corpos de gás girando lentamente. Por causa da gravidade, esses aglomerados de gás diminuem de tamanho lentamente. O que acontece com a velocidade angular de uma estrela quando ela encolhe? (b) Por que uma vara longa ajuda um equilibrista na corda bamba a se equilibrar?
Uma partícula com massa de
oscila com movimento harmônico simples com período
e uma velocidade máxima de
. Calcule (a) a freqüência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula.
Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga
:
A força por unidade de volume
em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar
, temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando
, e tambem
e o fato de que
pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor
fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com
:
Vamos calcular por exemplo a componente
O mesmo se aplica aos termos com
, portanto a componente
do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com
(ou seja
), e
(ou seja
. Portanto o vetor de Pointing é
, e
Assim, a componente
da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção
:
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde
é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como
, temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento
e energia
totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada
, temos a fórmula de Einstein
.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz,
Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius
, carries a
where
is a constant and
is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere