Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos,
e
, temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando
, as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as Equações de Maxwell quando há cargas (ρ) e correntes (j) presentes. O conteúdo aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre como os potenciais eletromagnéticos (φ e A) se relacionam com os campos elétrico (E) e magnético (B). Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dos potenciais, as Equações de Maxwell, e o conceito de calibre de Lorenz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como definir os campos elétrico e magnético usando os potenciais eletromagnéticos:
Aqui, φ é o potencial escalar e A é o potencial vetorial. Essas definições nos ajudam a reformular as Equações de Maxwell em termos de φ e A.
Passo 3
Vamos aplicar a divergência no campo elétrico E. Usando a definição de E:
Isso resulta em:
De acordo com uma das Equações de Maxwell:
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a equação de rotacional do campo magnético B:
Substituindo B pela expressão em termos de A:
Usando a identidade vetorial:
Então,
Rearranjando,
Passo 5
Até aqui, temos duas equações que relacionam os potenciais φ e A:
- Para φ:
- Para A:
Passo 6
Agora, escolhemos o calibre de Lorenz, que é uma condição que simplifica as equações. No calibre de Lorenz, impomos que:
Com essa escolha, a equação para A simplifica, já que o termo entre parênteses se anula:
Passo 7
Além disso, sabemos que a velocidade da luz
está relacionada aos parâmetros do vácuo por:
Usando essa relação e aplicando o calibre de Lorenz nas equações para φ e A, obtemos as equações de onda para os potenciais:
Para φ:
Para A:
Resposta
Assim, concluímos que, no calibre de Lorenz, os potenciais eletromagnéticos
e
satisfazem equações de onda não-homogêneas, onde
é influenciado pela densidade de carga
e A pela densidade de corrente
. No vácuo, onde
e
, essas equações se tornam equações de onda homogêneas, indicando que os potenciais se propagam como ondas.