Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos, e , temos
e
Essas duas equações implicam portanto
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
e, usando , as equações se tornam
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as Equações de Maxwell quando há cargas (ρ) e correntes (j) presentes. O conteúdo aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre como os potenciais eletromagnéticos (φ e A) se relacionam com os campos elétrico (E) e magnético (B). Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dos potenciais, as Equações de Maxwell, e o conceito de calibre de Lorenz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definir os campos elétrico e magnético usando os potenciais eletromagnéticos:
Aqui, φ é o potencial escalar e A é o potencial vetorial. Essas definições nos ajudam a reformular as Equações de Maxwell em termos de φ e A.

Passo 3

Vamos aplicar a divergência no campo elétrico E. Usando a definição de E:
Isso resulta em:
De acordo com uma das Equações de Maxwell:
Portanto, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar a equação de rotacional do campo magnético B:
Substituindo B pela expressão em termos de A:
Usando a identidade vetorial:
Então,
Rearranjando,

Passo 5

Até aqui, temos duas equações que relacionam os potenciais φ e A:
  1. Para φ:
  1. Para A:

Passo 6

Agora, escolhemos o calibre de Lorenz, que é uma condição que simplifica as equações. No calibre de Lorenz, impomos que:
Com essa escolha, a equação para A simplifica, já que o termo entre parênteses se anula:

Passo 7

Além disso, sabemos que a velocidade da luz está relacionada aos parâmetros do vácuo por:
Usando essa relação e aplicando o calibre de Lorenz nas equações para φ e A, obtemos as equações de onda para os potenciais:
Para φ:
Para A:

Resposta

Assim, concluímos que, no calibre de Lorenz, os potenciais eletromagnéticos e satisfazem equações de onda não-homogêneas, onde é influenciado pela densidade de carga e A pela densidade de corrente . No vácuo, onde e , essas equações se tornam equações de onda homogêneas, indicando que os potenciais se propagam como ondas.

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Uma partícula com massa de oscila com movimento harmônico simples com período e uma velocidade máxima de . Calcule (a) a freqüência angular e (b) o deslocamento máximo da partícula.
Considere novamente a Força de Lorentz sobre uma carga :
A força por unidade de volume em uma região fica
Usando a Lei de Ampere para eliminar , temos
Por outro lado, temos a identidade:
onde usamos a Lei de Faraday na segunda linha. Portanto
Portanto, a força por unidade de volume fica
Finalmente, usando , e tambem e o fato de que pode ser inserido sem alterar a equação, temos
Agora note que força é a derivada temporal do momento. Pode-se mostrar que o termo entre colchetes pode ser escrito como um divergente generalizado e representa o momento por unidade de volume que sai do sistema de cargas/campos, similarmente ao que o vetor fazia com a energia.
Vamos calcular por exemplo a componente dos termos com :
O mesmo se aplica aos termos com , portanto a componente do colchete da Eq. 11.63 fica:
Vamos consider o caso da onda com (ou seja ), e (ou seja . Portanto o vetor de Pointing é , e
Assim, a componente da Eq. 11.63 fica:
O lado esquerdo desta equação representa a variação do momento das cargas na direção :
Portanto
Assim, o segundo termo na Eq. 11.69 deve representar a força por unidade de volume dos próprios campos eletromagnéticos. Temos então vetorialmente:
onde é o momento por unidade de volume dos campos eletromagnéticos. Portanto
Assim, a Eq. 11.69 fica finalmente
Como , temos
Multiplicando pelo volume que estamos considerando, as densidades de momento e energia passam a ser o momento e energia totais no volume, e temos:
Nota: No contexto de relatividade especial, a energia de uma partícula qualquer é dada por
Quando a partícula está parada , temos a fórmula de Einstein .
Quando a partícula não tem massa, caso dos fótons de luz, , como acima para a radiação.
Problem 6.12. An infinitely long cylinder, of radius , carries a
where is a constant and is the distance from the axis; there is no free current anywhere. Find the magnetic field inside and outside the cylinder by two different methods:
a) As in Sect. 6.2, locate all the bound currents, and calculate the field they produce.
b) Use Ampere