Vamos agora considerar o caso geral em que a propagação dos campos ocorre na presença de cargas e correntes. Neste caso, as Equações de Maxwell são
nabla cdot E & =rhoepsilon0 nabla cdot B & =0 nabla times E & =-partial Bpartial t nabla times B & =mu0 j+mu0 epsilon0 partial Epartial t
Usando a definição de potenciais eletromagnéticos, E=-nabla phi-partial Apartial t e B=nabla times A, temos
nabla cdot E & =nabla cdot(-nabla phi-partial Apartial t)=-nabla^2 phi-partial nabla cdot Apartial t & =rhoepsilon0
e
nabla times B & =nabla times(nabla times A)=nabla(nabla cdot A)-nabla^2 A & =mu0 j+mu0 epsilon0 partial Epartial t=mu0 j+mu0 epsilon0 partialpartial t(-nabla phi-partial Apartial t) & =mu0 j-nabla(mu0 epsilon0 partial phipartial t)-mu0 epsilon0 partial^2 Apartial t^2
Essas duas equações implicam portanto
nabla^2 phi+partial nabla cdot Apartial t & =-rhoepsilon0 nabla^2 A-mu0 epsilon0 partial^2 Apartial t^2 & =-mu0 j+nabla(nabla cdot A+mu0 epsilon0 partial phipartial t)
Escolhendo o calibre de Lorenz, em que
nabla cdot A+mu0 epsilon0 partial phipartial t=0
e, usando c^2=1 / mu0 epsilon0, as equações se tornam
nabla^2 phi-1c^2 partial^2 phipartial t^2 & =-rhoepsilon0 nabla^2 A-1c^2 partial^2 Apartial t^2 & =-mu0 j
i.e. os potenciais se propagam de acordo com equações de onda não-homogêneas.
Vimos que, no vácuo, os próprios campos satisfazem a equação de onda homogênea. Vemos agora, que, no vácuo, os potenciais também satisfazem a equação de onda homogênea.
Aqui não nos preocuparemos em encontrar a solução destas equações, já que estaremos interessados apenas no caso mais simples da solução no vácuo. Para detalhes, ver Apêndice N.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos as Equações de Maxwell quando há cargas (ρ) e correntes (j) presentes. O conteúdo aqui é Eletromagnetismo, especificamente sobre como os potenciais eletromagnéticos (φ e A) se relacionam com os campos elétrico (E) e magnético (B). Para resolver isso, vamos precisar entender as definições dos potenciais, as Equações de Maxwell, e o conceito de calibre de Lorenz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como definir os campos elétrico e magnético usando os potenciais eletromagnéticos:
E = -nabla phi - partial Apartial t
B = nabla times A
Aqui, φ é o potencial escalar e A é o potencial vetorial. Essas definições nos ajudam a reformular as Equações de Maxwell em termos de φ e A.

Passo 3

Vamos aplicar a divergência no campo elétrico E. Usando a definição de E:
nabla cdot E = nabla cdot (-nabla phi - partial Apartial t)
Isso resulta em:
nabla cdot E = -nabla^2 phi - partialpartial t (nabla cdot A)
De acordo com uma das Equações de Maxwell:
nabla cdot E = rhoepsilon0
Portanto, temos:
nabla^2 phi + partial (nabla cdot A)partial t = -rhoepsilon0

Passo 4

Agora, vamos analisar a equação de rotacional do campo magnético B:
nabla times B = mu0 j + mu0 epsilon0 partial Epartial t
Substituindo B pela expressão em termos de A:
nabla times (nabla times A) = mu0 j + mu0 epsilon0 partialpartial t (-nabla phi - partial Apartial t)
Usando a identidade vetorial:
nabla times (nabla times A) = nabla(nabla cdot A) - nabla^2 A
Então,
nabla(nabla cdot A) - nabla^2 A = mu0 j - mu0 epsilon0 partial^2 Apartial t^2 - nabla (mu0 epsilon0 partial phipartial t)
Rearranjando,
nabla^2 A - mu0 epsilon0 partial^2 Apartial t^2 = -mu0 j + nabla (nabla cdot A + mu0 epsilon0 partial phipartial t)

Passo 5

Até aqui, temos duas equações que relacionam os potenciais φ e A:
  1. Para φ:
nabla^2 phi + partial (nabla cdot A)partial t = -rhoepsilon0
  1. Para A:
nabla^2 A - mu0 epsilon0 partial^2 Apartial t^2 = -mu0 j + nabla (nabla cdot A + mu0 epsilon0 partial phipartial t)

Passo 6

Agora, escolhemos o calibre de Lorenz, que é uma condição que simplifica as equações. No calibre de Lorenz, impomos que:
nabla cdot A + mu0 epsilon0 partial phipartial t = 0
Com essa escolha, a equação para A simplifica, já que o termo entre parênteses se anula:
nabla cdot A + mu0 epsilon0 partial phipartial t = 0

Passo 7

Além disso, sabemos que a velocidade da luz c^2 = 1mu0 epsilon0 está relacionada aos parâmetros do vácuo por:
nabla^2 phi - 1c^2 partial^2 phipartial t^2 = -rhoepsilon0
Usando essa relação e aplicando o calibre de Lorenz nas equações para φ e A, obtemos as equações de onda para os potenciais:
Para φ:
nabla^2 A - 1c^2 partial^2 Apartial t^2 = -mu0 j
Para A:

Resposta

Assim, concluímos que, no calibre de Lorenz, os potenciais eletromagnéticos e satisfazem equações de onda não-homogêneas, onde é influenciado pela densidade de carga e A pela densidade de corrente . No vácuo, onde e , essas equações se tornam equações de onda homogêneas, indicando que os potenciais se propagam como ondas.

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