Considere o número α = 1 + 4/10 + 1/10^2 + 1/10^3 + 1/10^4 + ....
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.

Passo 1

Vamos analisar o número . Nosso objetivo é determinar se esse número é racional e, se for, expressá-lo tanto na forma decimal quanto na forma de fração irredutível. Para isso, precisaremos entender séries geométricas e como somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever de uma maneira que facilite a identificação de padrões:
Podemos notar que, além dos primeiros dois termos, os demais formam uma sequência que se repete com uma razão comum.

Passo 3

Observando a parte da série a partir de , percebemos que ela é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma:
onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, e .

Passo 4

Para somar essa série geométrica infinita, usamos a fórmula da soma:
Aplicando os valores:
Portanto, a soma da série a partir de é .

Passo 5

Agora, substituímos essa soma na expressão original de :
Para somar esses termos, precisamos de um denominador comum. O menor denominador comum entre 1, 10 e 90 é 90:
Somando:

Resposta

O número é racional e pode ser expresso na forma decimal como (com 1’s se repetindo infinitamente) e na forma de fração irredutível como .

Exercícios relacionados