Considere o número
.
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.
Passo 1
Vamos analisar o número
. Nosso objetivo é determinar se esse número é racional e, se for, expressá-lo tanto na forma decimal quanto na forma de fração irredutível. Para isso, precisaremos entender séries geométricas e como somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma maneira que facilite a identificação de padrões:
Podemos notar que, além dos primeiros dois termos, os demais formam uma sequência que se repete com uma razão comum.
Passo 3
Observando a parte da série a partir de
, percebemos que ela é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Para somar essa série geométrica infinita, usamos a fórmula da soma:
Aplicando os valores:
Portanto, a soma da série a partir de
é
.
Passo 5
Agora, substituímos essa soma na expressão original de
:
Para somar esses termos, precisamos de um denominador comum. O menor denominador comum entre 1, 10 e 90 é 90:
Somando:
Resposta
O número
é racional e pode ser expresso na forma decimal como
(com 1’s se repetindo infinitamente) e na forma de fração irredutível como
.