Considere o número
.
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fração irredutível.
Passo 1
Vamos analisar o número
. Nosso objetivo é determinar se esse número é racional e, se for, expressá-lo tanto na forma decimal quanto na forma de fração irredutível. Para isso, precisaremos entender séries geométricas e como somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma maneira que facilite a identificação de padrões:
Podemos notar que, além dos primeiros dois termos, os demais formam uma sequência que se repete com uma razão comum.
Passo 3
Observando a parte da série a partir de
, percebemos que ela é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma:
onde:
-
é o primeiro termo, -
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Para somar essa série geométrica infinita, usamos a fórmula da soma:
Aplicando os valores:
Portanto, a soma da série a partir de
é
.
Passo 5
Agora, substituímos essa soma na expressão original de
:
Para somar esses termos, precisamos de um denominador comum. O menor denominador comum entre 1, 10 e 90 é 90:
Somando:
Resposta
O número
é racional e pode ser expresso na forma decimal como
(com 1’s se repetindo infinitamente) e na forma de fração irredutível como
.
Exercícios relacionados
(PISM 1 - 2017) Um capital de R
, 00 aplicado no sistema de juros compostos a uma taxa de
ao mês, gera, após
meses, o montante (que é os juros mais o capital inicial) é dado pela fórmula abaixo:
O número mínimo de meses necessários para que o valor do montante seja igual a
é:
(Use que )
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses
(Use que
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses
Mostre que, se
e
são racionais e
, então existe um racional
tal que
Resolva as equações:
5a)
5a)
Efetue as operações abaixo: