a) Considere x e y números reais positivos, tais que .
Determine o valor de .
b) Determine os valores de ; ii) .
x para que exista

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte envolve logaritmos com bases diferentes e precisamos encontrar os valores de e . A segunda parte pede para determinar os valores de certas expressões logarítmicas para que elas existam, ou seja, que sejam definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os logaritmos e suas condições de existência.

Passo 2

Vamos começar pela parte a). Temos as equações:
Precisamos encontrar e que satisfazem essas equações e depois somá-los.

Passo 3

Lembre-se que significa que . Então, se , isso implica que:
Agora, aplicando a mesma lógica para :

Passo 4

Agora, resolvemos para e :

Passo 5

Com os valores de e encontrados, basta somá-los:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Precisamos determinar os valores de para que as seguintes expressões logarítmicas existam:
Para que um logaritmo exista, duas condições devem ser satisfeitas:
  1. A base deve ser positiva e diferente de 1: e .
  2. O argumento deve ser positivo: .

Passo 7

Vamos resolver cada uma das expressões separadamente.

i)

Condição 1: e
Condição 2:
Resolvendo a inequação:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, as raízes são e . A inequação é satisfeita para valores de entre as raízes:
Intersecção das condições:
Portanto, , já que .

ii)

Condição 1: e
Resolvendo a inequação :
Encontramos as raízes da equação :
As raízes são e . A inequação é satisfeita para:
Condição 2:
Intersecção das condições:
Portanto, .

Passo 8

Resumindo:
  • Para i), os valores de que fazem a expressão existir são .
  • Para ii), os valores de que fazem a expressão existir são .

Resposta

a)
b)
  • i) A expressão existe para .
  • ii) A expressão existe para .

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