a) Considere x e y números reais positivos, tais que
.
Determine o valor de
.
b) Determine os valores de
; ii)
.
x para que exista
Determine o valor de
b) Determine os valores de
x para que exista
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A primeira parte envolve logaritmos com bases diferentes e precisamos encontrar os valores de
e
. A segunda parte pede para determinar os valores de certas expressões logarítmicas para que elas existam, ou seja, que sejam definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os logaritmos e suas condições de existência.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). Temos as equações:
Precisamos encontrar
e
que satisfazem essas equações e depois somá-los.
Passo 3
Lembre-se que
significa que
. Então, se
, isso implica que:
Agora, aplicando a mesma lógica para
:
Passo 4
Agora, resolvemos para
e
:
Passo 5
Com os valores de
e
encontrados, basta somá-los:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Precisamos determinar os valores de
para que as seguintes expressões logarítmicas existam:
Para que um logaritmo
exista, duas condições devem ser satisfeitas:
- A base
deve ser positiva e diferente de 1: e . - O argumento
deve ser positivo: .
Passo 7
Vamos resolver cada uma das expressões separadamente.
i)
Condição 1:
e
Condição 2:
Resolvendo a inequação:
Resolvendo a inequação:
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, as raízes são
e
. A inequação é satisfeita para valores de
entre as raízes:
Intersecção das condições:
Portanto,
, já que
.
ii)
Condição 1:
e
Resolvendo a inequação
:
Encontramos as raízes da equação :
Encontramos as raízes da equação
As raízes são
e
. A inequação
é satisfeita para:
Condição 2:
Intersecção das condições:
Portanto,
.
Passo 8
Resumindo:
- Para i), os valores de
que fazem a expressão existir são . - Para ii), os valores de
que fazem a expressão existir são .
Resposta
a)
b)
- i) A expressão
existe para . - ii) A expressão
existe para .