Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover uma partícula ao longo da curva C, orientada positivamente, onde F(x, y, z) = (x + y^2) i + (y + z^2 * j + (z + x^2) * k, onde C é o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva C, que é um triângulo com vértices em (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre a superfície limitada por essa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui, C é a curva fechada (no nosso caso, o triângulo), S é a superfície delimitada por C, nabla vezes F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é representado por nabla vezes F. Para uma função vetorial , o rotacional é dado por:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S limitada pela curva C. Como C é um triângulo no espaço, vamos escolher a superfície plana do triângulo. Para isso, encontramos a equação do plano onde esse triângulo está localizado.
Os três pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) satisfazem a equação do plano .

Passo 5

Vamos determinar o vetor normal n para a superfície S. A equação do plano é , então o vetor normal é dado pelos coeficientes de x, y e z, ou seja, .
Para a orientação positiva, assumimos que n aponta na direção dada por essa equação. A magnitude de n é:
Portanto, o vetor unitário normal é:

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :
Fazendo o produto interno:
Como no plano , substituímos:

Passo 7

Agora, calculamos a integral de superfície:
Á
Precisamos então encontrar a área do triângulo S.

Passo 8

Para encontrar a área do triângulo, usamos a fórmula:
Á
Onde e são vetores formados pelos pontos:
Calculando os vetores:
Calculando o produto vetorial :
A magnitude desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Á

Passo 9

Finalmente, substituímos a área na integral de superfície:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força F ao mover a partícula ao longo da curva C é -1.

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