Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva C, orientada positivamente, onde , onde C é o triângulo com vértices e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de uma curva , que é um triângulo com vértices em , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre a superfície limitada por essa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui, é a curva fechada (no nosso caso, o triângulo), é a superfície delimitada por , é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de , que é representado por . Para uma função vetorial , o rotacional é dado por:
No nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície limitada pela curva . Como é um triângulo no espaço, vamos escolher a superfície plana do triângulo. Para isso, encontramos a equação do plano onde esse triângulo está localizado.
Os três pontos , e satisfazem a equação do plano .
Passo 5
Vamos determinar o vetor normal para a superfície . A equação do plano é , então o vetor normal é dado pelos coeficientes de , e , ou seja, .
Para a orientação positiva, assumimos que aponta na direção dada por essa equação. A magnitude de é:
Portanto, o vetor unitário normal é:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar :
Fazendo o produto interno:
Como no plano , substituímos:
Passo 7
Agora, calculamos a integral de superfície:
Precisamos então encontrar a área do triângulo .
Passo 8
Para encontrar a área do triângulo, usamos a fórmula:
Onde e são vetores formados pelos pontos:
Calculando os vetores:
Calculando o produto vetorial :
A magnitude desse vetor é:
Então, a área do triângulo é:
Á
Passo 9
Finalmente, substituímos a área na integral de superfície:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo da curva é -1.