É dada a função definida por .
a) Determine os valores de para os quais .
b) Determine os valores de x para os quais .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por . O objetivo é descobrir para quais valores de essa função é maior ou igual a 2 e para quais é menor que 2. Vamos usar conceitos de logaritmos e resolver algumas desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo está definido quando e , . Então, para a nossa função , precisamos garantir que e . Isso significa que .
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função. Sabemos que pode ser reescrito em termos de base 2, já que . Usando a mudança de base, temos:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos reescrever a função para facilitar a resolução:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:
Passo 5
Agora, queremos resolver as desigualdades:
a)
b)
Vamos começar com a parte (a). Sabemos que . Para resolver isso, transformamos a desigualdade logarítmica em exponencial:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que , então ):
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática . As raízes são:
A inequação é satisfeita quando ou .
Passo 8
Lembrando que , a solução da parte (a) é:
Agora, para a parte (b) , seguimos o mesmo processo:
Elevando ao quadrado:
Passo 9
A inequação é satisfeita entre as raízes, ou seja, para .