É dada a função definida por .
a) Determine os valores de para os quais .
b) Determine os valores de x para os quais .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por . O objetivo é descobrir para quais valores de essa função é maior ou igual a 2 e para quais é menor que 2. Vamos usar conceitos de logaritmos e resolver algumas desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo está definido quando e , . Então, para a nossa função , precisamos garantir que e . Isso significa que .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função. Sabemos que pode ser reescrito em termos de base 2, já que . Usando a mudança de base, temos:
Então, a função fica:

Passo 4

Vamos reescrever a função para facilitar a resolução:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 5

Agora, queremos resolver as desigualdades:
a)
b)
Vamos começar com a parte (a). Sabemos que . Para resolver isso, transformamos a desigualdade logarítmica em exponencial:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (lembrando que , então ):
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:

Passo 7

Resolvemos a equação quadrática . As raízes são:
A inequação é satisfeita quando ou .

Passo 8

Lembrando que , a solução da parte (a) é:
Agora, para a parte (b) , seguimos o mesmo processo:
Elevando ao quadrado:

Passo 9

A inequação é satisfeita entre as raízes, ou seja, para .

Resposta

a) Os valores de para os quais são ou .
b) Os valores de para os quais são .

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