É dada a função
definida por
.
a) Determine os valores de
para os quais
.
b) Determine os valores de x para os quais
.
a) Determine os valores de
b) Determine os valores de x para os quais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por
. O objetivo é descobrir para quais valores de
essa função é maior ou igual a 2 e para quais é menor que 2. Vamos usar conceitos de logaritmos e resolver algumas desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo
está definido quando
e
,
. Então, para a nossa função
, precisamos garantir que
e
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função. Sabemos que
pode ser reescrito em termos de base 2, já que
. Usando a mudança de base, temos:
Então, a função fica:
Passo 4
Vamos reescrever a função para facilitar a resolução:
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 5
Agora, queremos resolver as desigualdades:
a)
b)
Vamos começar com a parte (a). Sabemos que
. Para resolver isso, transformamos a desigualdade logarítmica em exponencial:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
, então
):
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 7
Resolvemos a equação quadrática
. As raízes são:
A inequação
é satisfeita quando
ou
.
Passo 8
Lembrando que
, a solução da parte (a) é:
Agora, para a parte (b)
, seguimos o mesmo processo:
Elevando ao quadrado:
Passo 9
A inequação
é satisfeita entre as raízes, ou seja, para
.
Resposta
a) Os valores de
para os quais
são
ou
.
b) Os valores de
para os quais
são
.