Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. , C é o quadrado de lados .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é , onde é um quadrado com lados em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região que é o quadrado com entre 0 e 1 e entre 0 e 1. Vamos configurar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :