Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ointC e^y d x+2 x e^y d y, C é o quadrado de lados x=0, x=1, y=0, y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é ointC e^y dx + 2x e^y dy, onde C é um quadrado com lados em x=0, x=1, y=0 e y=1. Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada C que delimita uma região D, temos:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = e^y e Q = 2x e^y. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x e^y) = 2 e^y
partial Ppartial y = partialpartial y (e^y) = e^y
Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC e^y dx + 2x e^y dy = integral duplaD (2 e^y - e^y) dA = integral duplaD e^y dA

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral dupla integral duplaD e^y dA sobre a região D que é o quadrado com x entre 0 e 1 e y entre 0 e 1. Vamos configurar a integral:
integralx=0^1 integraly=0^1 e^y dy , dx
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a y:
integral0^1 e^y dy = e^y |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^1 (e - 1) dx = (e - 1) integral0^1 dx = (e - 1)(1 - 0) = e - 1

Resposta

A integral de linha é igual a e - 1.

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