Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. , C é o quadrado de lados .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral dada é , onde é um quadrado com lados em , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, aplicando o Teorema de Green:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região que é o quadrado com entre 0 e 1 e entre 0 e 1. Vamos configurar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Utilize o Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força ao mover uma partícula ao longo da curva C, orientada positivamente, onde , onde C é o triângulo com vértices e
a) Considere x e y números reais positivos, tais que .
Determine o valor de .
b) Determine os valores de ; ii) .
x para que exista
(2,0 pts) Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , e . Calcule .
Use a derivação implícita para determinar e .
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