Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de ) sujeito a uma força de arrasto . Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de . Explique a dependência temporal para grande. (Que termo da força é dominante quando é grande?).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar um objeto que está se movendo na horizontal, na direção positiva de , e que sofre uma força de arrasto . Nosso objetivo é aplicar a segunda lei de Newton, resolver a equação para a velocidade usando separação de variáveis, esboçar como varia com o tempo e entender o que acontece quando fica grande. Para isso, vamos precisar lembrar como a segunda lei de Newton funciona e como resolver equações diferenciais simples.

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração. Matematicamente, isso fica:
Como a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:

Passo 3

No nosso caso, a força de arrasto é . Então, substituindo na segunda lei de Newton:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro. Primeiro, dividimos tudo por :
Agora, isso é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos reescrever:

Passo 5

Para resolver, encontramos um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Para determinar a constante , consideramos a condição inicial. Supondo que no tempo , a velocidade seja :
Então, . Substituindo de volta na equação da velocidade:

Passo 7

Agora, vamos esboçar o comportamento de em função do tempo . Inicialmente, quando , a velocidade é . À medida que o tempo aumenta, o termo diminui exponencialmente, fazendo com que se aproxime de . O gráfico teria uma curva que começa em e decai assintoticamente para .

Passo 8

Para valores de muito grandes, o termo exponencial tende a zero. Isso significa que a velocidade se aproxima de . Neste caso, o termo dominante na força de arrasto é o , pois ele é constante e não depende de . Portanto, quando é grande, a força de arrasto é a que mais influencia o movimento do objeto.

Resposta

A velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
O gráfico de começa em e tende assintoticamente para conforme o tempo aumenta. Para tempos grandes, a velocidade se estabiliza em , indicando que o termo da força de arrasto se torna dominante.

Exercícios relacionados

Um projétil que está sujeito à resistência do ar quadrática é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial . (a) Escreva a equação para o movimento para cima e resolva-a para obter v como função de . (b) Mostre que o tempo até alcançar a altura máxima da trajetória é
© Para uma bola de beisebol com velocidade limite de , determine para os casos , 30 e e compare com os valores correspondentes no vácuo.
Um bloco de massa está suportado por um cabo preso a uma barra ( de comprimento e massa ) articulada no ponto , como mostra a figura (abaixo à esquerda). A barra é sustentada por outro cabo (que une os pontos e ) que está preso à parede no ponto . Faça o diagrama de forças para a barra e escreva-as em um referencial determinado por você.
Uma massa tem velocidade no instante e move-se ao longo do eixo em um meio onde a força de arrasto é . Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo e dos demais parâmetros. Para que valor de (se existe algum) a massa irá alcançar o repouso?
Use o método do exercício 1 para resolver o seguinte: uma massa está submetida a mover-se ao longo do eixo sujeita a uma força , onde e V são constantes. (a) Determine se a velocidade inicial for no instante . (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.