Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de
) sujeito a uma força de arrasto
. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de
. Explique a dependência temporal para
grande. (Que termo da força é dominante quando
é grande?).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar um objeto que está se movendo na horizontal, na direção positiva de
, e que sofre uma força de arrasto
. Nosso objetivo é aplicar a segunda lei de Newton, resolver a equação para a velocidade
usando separação de variáveis, esboçar como
varia com o tempo
e entender o que acontece quando
fica grande. Para isso, vamos precisar lembrar como a segunda lei de Newton funciona e como resolver equações diferenciais simples.
Passo 2
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração. Matematicamente, isso fica:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Passo 3
No nosso caso, a força de arrasto é
. Então, substituindo na segunda lei de Newton:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro. Primeiro, dividimos tudo por
:
Agora, isso é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos reescrever:
Passo 5
Para resolver, encontramos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Para determinar a constante
, consideramos a condição inicial. Supondo que no tempo
, a velocidade seja
:
Então,
. Substituindo de volta na equação da velocidade:
Passo 7
Agora, vamos esboçar o comportamento de
em função do tempo
. Inicialmente, quando
, a velocidade é
. À medida que o tempo aumenta, o termo
diminui exponencialmente, fazendo com que
se aproxime de
. O gráfico teria uma curva que começa em
e decai assintoticamente para
.
Passo 8
Para valores de
muito grandes, o termo exponencial
tende a zero. Isso significa que a velocidade
se aproxima de
. Neste caso, o termo dominante na força de arrasto é o
, pois ele é constante e não depende de
. Portanto, quando
é grande, a força de arrasto
é a que mais influencia o movimento do objeto.
Resposta
A velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
O gráfico de
começa em
e tende assintoticamente para
conforme o tempo aumenta. Para tempos grandes, a velocidade se estabiliza em
, indicando que o termo
da força de arrasto se torna dominante.