Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de
) sujeito a uma força de arrasto
. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de
. Explique a dependência temporal para
grande. (Que termo da força é dominante quando
é grande?).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar um objeto que está se movendo na horizontal, na direção positiva de
, e que sofre uma força de arrasto
. Nosso objetivo é aplicar a segunda lei de Newton, resolver a equação para a velocidade
usando separação de variáveis, esboçar como
varia com o tempo
e entender o que acontece quando
fica grande. Para isso, vamos precisar lembrar como a segunda lei de Newton funciona e como resolver equações diferenciais simples.
Passo 2
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração. Matematicamente, isso fica:
Como a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:
Passo 3
No nosso caso, a força de arrasto é
. Então, substituindo na segunda lei de Newton:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro. Primeiro, dividimos tudo por
:
Agora, isso é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos reescrever:
Passo 5
Para resolver, encontramos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Para determinar a constante
, consideramos a condição inicial. Supondo que no tempo
, a velocidade seja
:
Então,
. Substituindo de volta na equação da velocidade:
Passo 7
Agora, vamos esboçar o comportamento de
em função do tempo
. Inicialmente, quando
, a velocidade é
. À medida que o tempo aumenta, o termo
diminui exponencialmente, fazendo com que
se aproxime de
. O gráfico teria uma curva que começa em
e decai assintoticamente para
.
Passo 8
Para valores de
muito grandes, o termo exponencial
tende a zero. Isso significa que a velocidade
se aproxima de
. Neste caso, o termo dominante na força de arrasto é o
, pois ele é constante e não depende de
. Portanto, quando
é grande, a força de arrasto
é a que mais influencia o movimento do objeto.
Resposta
A velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
O gráfico de
começa em
e tende assintoticamente para
conforme o tempo aumenta. Para tempos grandes, a velocidade se estabiliza em
, indicando que o termo
da força de arrasto se torna dominante.
Exercícios relacionados
Um projétil que está sujeito à resistência do ar quadrática é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial
. (a) Escreva a equação para o movimento para cima e resolva-a para obter v como função de
. (b) Mostre que o tempo até alcançar a altura máxima da trajetória é
© Para uma bola de beisebol com velocidade limite de
, determine
para os casos
, 30 e
e compare com os valores correspondentes no vácuo.
Um bloco de massa
está suportado por um cabo preso a uma barra (
de comprimento e massa
) articulada no ponto
, como mostra a figura (abaixo à esquerda). A barra é sustentada por outro cabo (que une os pontos
e
) que está preso à parede no ponto
. Faça o diagrama de forças para a barra e escreva-as em um referencial determinado por você.
Uma massa
tem velocidade
no instante
e move-se ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é
. Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo
e dos demais parâmetros. Para que valor de
(se existe algum) a massa
irá alcançar o repouso?
Use o método do exercício 1 para resolver o seguinte: uma massa
está submetida a mover-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e V são constantes. (a) Determine
se a velocidade inicial for
no instante
. (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.