Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de x ) sujeito a uma força de arrasto f=-b v-c^2. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de t. Explique a dependência temporal para t grande. (Que termo da força é dominante quando t é grande?).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente considerar um objeto que está se movendo na horizontal, na direção positiva de , e que sofre uma força de arrasto . Nosso objetivo é aplicar a segunda lei de Newton, resolver a equação para a velocidade usando separação de variáveis, esboçar como varia com o tempo e entender o que acontece quando fica grande. Para isso, vamos precisar lembrar como a segunda lei de Newton funciona e como resolver equações diferenciais simples.

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração. Matematicamente, isso fica:
F = m cdot a
Como a aceleração F = m cdot dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo, podemos escrever:

Passo 3

No nosso caso, a força de arrasto é m cdot dvdt = -b v - c^2 . Então, substituindo na segunda lei de Newton:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para isolar os termos que envolvem dvdt = -bm v - c^2m de um lado e os que envolvem dvdt + bm v = -c^2m do outro. Primeiro, dividimos tudo por :
Agora, isso é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando o método de separação de variáveis. Vamos reescrever:

Passo 5

Para resolver, encontramos um fator integrante. O fator integrante mu(t) = e^integral bm dt = e^bm t é dado por:
e^bm t dvdt + bm e^bm t v = -c^2m e^bm t
Multiplicamos toda a equação pela ddt ( v cdot e^bm t ) = -c^2m e^bm t :
v cdot e^bm t = -c^2m integral e^bm t dt + C
O lado esquerdo agora é a derivada de v cdot e^bm t = -c^2b e^bm t + C :
v = -c^2b + C e^-bm t
Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Para determinar a constante v0 = -c^2b + C , consideramos a condição inicial. Supondo que no tempo v(t) = -c^2b + ( v0 + c^2b ) e^-bm t , a velocidade seja :
Então, . Substituindo de volta na equação da velocidade:

Passo 7

Agora, vamos esboçar o comportamento de em função do tempo . Inicialmente, quando , a velocidade é . À medida que o tempo aumenta, o termo diminui exponencialmente, fazendo com que se aproxime de . O gráfico teria uma curva que começa em e decai assintoticamente para .

Passo 8

Para valores de muito grandes, o termo exponencial tende a zero. Isso significa que a velocidade se aproxima de . Neste caso, o termo dominante na força de arrasto é o , pois ele é constante e não depende de . Portanto, quando é grande, a força de arrasto é a que mais influencia o movimento do objeto.

Resposta

A velocidade do objeto em função do tempo é dada por:
v(t) = -c^2b + ( v0 + c^2b ) e^-bm t
O gráfico de começa em e tende assintoticamente para conforme o tempo aumenta. Para tempos grandes, a velocidade se estabiliza em , indicando que o termo da força de arrasto se torna dominante.

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