Um projétil que está sujeito à resistência do ar quadrática é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial vo. (a) Escreva a equação para o movimento para cima e resolva-a para obter v como função de t. (b) Mostre que o tempo até alcançar a altura máxima da trajetória é
t topo =(v lim / g) arctan (vo / v lim )
© Para uma bola de beisebol com velocidade limite de 35 m / s, determine t topo para os casos deo=1,10,20, 30 e 40 m / s e compare com os valores correspondentes no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um projétil que está sendo lançado para cima, e ele enfrenta resistência do ar que depende do quadrado da velocidade. Nosso objetivo é resolver três partes desse exercício:
(a) Escrever a equação do movimento para cima e encontrar a velocidade ttopo = (vlimg) arctan(vovlim) em função do tempo .
(b) Demonstrar que o tempo para atingir a altura máxima é dado por:
© Calcular para uma bola de beisebol com velocidade limite de para diferentes velocidades iniciais e comparar com os valores no vácuo.
Vamos precisar das leis do movimento e entender como a resistência do ar afeta o movimento do projétil. Vamos usar um pouco de cálculo e álgebra para resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa resistência do ar quadrática. Isso quer dizer que a força de resistência do ar Fr = -k v^2 é proporcional ao quadrado da velocidade :
O sinal negativo indica que a força está sempre oposta à direção do movimento.

Passo 3

Segundo, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a massa F = m a e a aceleração m dvdt = -m g - k v^2 :
dvdt = -g - km v^2
No nosso caso, a única força agindo para cima é a resistência do ar, e a força da gravidade está agindo para baixo:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, para facilitar, vamos definir dvdt = -g (1 + (vvlim)^2 ) . Isso é conhecido como a velocidade terminal, onde a força da resistência do ar equilibra a força da gravidade.
Com isso, nossa equação fica:

Passo 5

Vamos separar as variáveis integral dv1 + (vvlim)^2 = -integral g , dt e para integrar:
A integral do lado esquerdo é a integral de , que é uma forma da função arco-tangente.

Passo 6

Integrando:
vlim arctan(vvlim) = -g t + C
Onde vlim arctan(vovlim) = C é a constante de integração. Considerando que quando , podemos encontrar :

Passo 7

Rearranjando para isolar arctan(vvlim) = -g t + vlim arctan(vovlim)vlim :
vvlim = tan(-g tvlim + arctan(vovlim))
Aplicando a função tangente dos dois lados:
v(t) = vlim tan(arctan(vovlim) - g tvlim)
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Essa é a expressão para a velocidade em função do tempo considerando a resistência do ar quadrática.
Agora, vamos para a parte (b), que é encontrar o tempo até atingir a altura máxima. No ponto máximo, a velocidade 0 = vlim tan(arctan(vovlim) - g ttopovlim) .
Então, igualamos a equação de arctan(vovlim) - g ttopovlim = 0 a zero:
ttopo = vlimg arctan(vovlim)
Para que a tangente seja zero, o argumento deve ser múltiplo de , mas o menor tempo positivo ocorre quando:
Resolvendo para :

Passo 9

Pronto! Chegamos à expressão para o tempo até o pico da trajetória, que é o que pedia a parte (b).
Agora, vamos para a parte ©. Temos uma bola de beisebol com ttopo = (359.8) arctan(vo35) e queremos calcular ttopo = 3.571 times arctan(135) approx 3.571 times 0.0286 = 0.102 , s para ttopo = 3.571 times arctan(1035) approx 3.571 times 0.2783 = 0.994 , s .
Usaremos a fórmula que encontramos:
ttopo = 3.571 times arctan(2035) approx 3.571 times 0.5191 = 1.850 , s
Vamos calcular cada caso:
  1. Para ttopo = 3.571 times arctan(3035) approx 3.571 times 0.7418 = 2.651 , s :
ttopo = 3.571 times arctan(4035) approx 3.571 times 0.8462 = 3.02 , s
  1. Para ttopo,vácuo = vog :
ttopo,vácuo = 19.8 approx 0.102 , s
  1. Para ttopo,vácuo = 109.8 approx 1.02 , s :
ttopo,vácuo = 209.8 approx 2.04 , s
  1. Para ttopo,vácuo = 309.8 approx 3.06 , s :
ttopo,vácuo = 409.8 approx 4.08 , s
  1. Para :
    Aqui, , mas a fórmula ainda vale:
Agora, comparando com o vácuo, onde não há resistência do ar, a fórmula para é simplesmente:
á
Calculando para os mesmos :
  1. :
á
  1. :
á
  1. :
á
  1. :
á
  1. :
á

Resposta

Para uma bola de beisebol com velocidade limite de , os tempos até o ponto mais alto são:
  • : (igual ao vácuo)
  • : (ligeiramente menor que no vácuo)
  • : (menor que no vácuo)
  • : (menor que no vácuo)
  • : (menor que no vácuo)
Comparando com os valores no vácuo, observamos que a resistência do ar reduz o tempo necessário para atingir a altura máxima, especialmente para velocidades iniciais maiores.

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