Um projétil que está sujeito à resistência do ar quadrática é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial
. (a) Escreva a equação para o movimento para cima e resolva-a para obter v como função de
. (b) Mostre que o tempo até alcançar a altura máxima da trajetória é
© Para uma bola de beisebol com velocidade limite de
, determine
para os casos
, 30 e
e compare com os valores correspondentes no vácuo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um projétil que está sendo lançado para cima, e ele enfrenta resistência do ar que depende do quadrado da velocidade. Nosso objetivo é resolver três partes desse exercício:
(a) Escrever a equação do movimento para cima e encontrar a velocidade
em função do tempo
.
(b) Demonstrar que o tempo para atingir a altura máxima é dado por:
© Calcular
para uma bola de beisebol com velocidade limite de
para diferentes velocidades iniciais e comparar com os valores no vácuo.
Vamos precisar das leis do movimento e entender como a resistência do ar afeta o movimento do projétil. Vamos usar um pouco de cálculo e álgebra para resolver tudo isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa resistência do ar quadrática. Isso quer dizer que a força de resistência do ar
é proporcional ao quadrado da velocidade
:
O sinal negativo indica que a força está sempre oposta à direção do movimento.
Passo 3
Segundo, aplicamos a segunda lei de Newton, que relaciona a força resultante com a massa
e a aceleração
:
No nosso caso, a única força agindo para cima é a resistência do ar, e a força da gravidade está agindo para baixo:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, para facilitar, vamos definir
. Isso é conhecido como a velocidade terminal, onde a força da resistência do ar equilibra a força da gravidade.
Com isso, nossa equação fica:
Passo 5
Vamos separar as variáveis
e
para integrar:
A integral do lado esquerdo é a integral de
, que é uma forma da função arco-tangente.
Passo 6
Integrando:
Onde
é a constante de integração. Considerando que
quando
, podemos encontrar
:
Passo 7
Rearranjando para isolar
:
Aplicando a função tangente dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Essa é a expressão para a velocidade em função do tempo considerando a resistência do ar quadrática.
Agora, vamos para a parte (b), que é encontrar o tempo até atingir a altura máxima. No ponto máximo, a velocidade
.
Então, igualamos a equação de
a zero:
Para que a tangente seja zero, o argumento deve ser múltiplo de
, mas o menor tempo positivo ocorre quando:
Resolvendo para
:
Passo 9
Pronto! Chegamos à expressão para o tempo até o pico da trajetória, que é o que pedia a parte (b).
Agora, vamos para a parte ©. Temos uma bola de beisebol com
e queremos calcular
para
.
Usaremos a fórmula que encontramos:
Vamos calcular cada caso:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Aqui,, mas a fórmula ainda vale:
Agora, comparando com o vácuo, onde não há resistência do ar, a fórmula para
é simplesmente:
Calculando para os mesmos
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Resposta
Para uma bola de beisebol com velocidade limite de
, os tempos até o ponto mais alto são:
-
: (igual ao vácuo) -
: (ligeiramente menor que no vácuo) -
: (menor que no vácuo) -
: (menor que no vácuo) -
: (menor que no vácuo)
Comparando com os valores no vácuo, observamos que a resistência do ar reduz o tempo necessário para atingir a altura máxima, especialmente para velocidades iniciais maiores.