Uma massa m tem velocidade v0 no instante t=0 e move-se ao longo do eixo x em um meio onde a força de arrasto é F(v)=-c v^3 / 2. Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo t e dos demais parâmetros. Para que valor de t (se existe algum) a massa m irá alcançar o repouso?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma massa que está se movendo com uma velocidade inicial no instante . Essa massa está viajando ao longo do eixo em um meio onde a força de arrasto é dada por , onde é uma constante. O objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade em função do tempo usando o método de separação de variáveis e descobrir em que tempo, se houver, a massa vai parar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força e a velocidade. De acordo com a segunda lei de Newton, a força é igual à massa vezes a aceleração ( m dvdt = -c v^3/2 ). Aqui, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo ( ). Então, podemos escrever:
Esse é um diferencial que precisamos resolver para encontrar .

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos que contêm dvv^3/2 = -cm dt de um lado e os termos que contêm do outro lado. Isso faz parte do método de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por e multiplicando por , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de -2 v^-1/2 = -cm t + C é , e a integral de é , onde é a constante de integração. Assim, temos:
Vamos simplificar e resolver para .

Passo 5

Aplicamos a condição inicial -2 v0^-1/2 = C quando -2 v^-1/2 = -cm t - 2 v0^-1/2 para encontrar a constante 2 ( v^-1/2 - v0^-1/2 ) = cm t :
v^-1/2 = v0^-1/2 + c2m t
Substituindo de volta na equação, temos:
v = ( v0^-1/2 + c2m t )^-2
Multiplicando todos os termos por e rearranjando, obtemos:
Então, isolando :
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para :

Resposta

A velocidade em função do tempo é dada por:
v(t) = ( 1raizv0 + c2m t )^-2
Além disso, a massa nunca alcança o repouso em um tempo finito. Ou seja, se aproxima de zero conforme tende ao infinito, mas nunca chega exatamente a zero em um tempo específico.

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