Uma massa
tem velocidade
no instante
e move-se ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é
. Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo
e dos demais parâmetros. Para que valor de
(se existe algum) a massa
irá alcançar o repouso?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma massa
que está se movendo com uma velocidade inicial
no instante
. Essa massa está viajando ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é dada por
, onde
é uma constante. O objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade
em função do tempo
usando o método de separação de variáveis e descobrir em que tempo, se houver, a massa vai parar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a força e a velocidade. De acordo com a segunda lei de Newton, a força é igual à massa vezes a aceleração (
). Aqui, a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
). Então, podemos escrever:
Esse é um diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos que contêm
de um lado e os termos que contêm
do outro lado. Isso faz parte do método de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Assim, temos:
Vamos simplificar e resolver para
.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
quando
para encontrar a constante
:
Substituindo de volta na equação, temos:
Multiplicando todos os termos por
e rearranjando, obtemos:
Então, isolando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Resposta
A velocidade em função do tempo é dada por:
Além disso, a massa
nunca alcança o repouso em um tempo finito. Ou seja,
se aproxima de zero conforme
tende ao infinito, mas nunca chega exatamente a zero em um tempo específico.
Exercícios relacionados
Considere um objeto que está se movendo horizontalmente (direção positiva de
) sujeito a uma força de arrasto
. Escreva a segunda lei de Newton para esse objeto e resolva para v por separação de variáveis. Esboce o comportamento de v como função de
. Explique a dependência temporal para
grande. (Que termo da força é dominante quando
é grande?).
Um projétil que está sujeito à resistência do ar quadrática é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial
. (a) Escreva a equação para o movimento para cima e resolva-a para obter v como função de
. (b) Mostre que o tempo até alcançar a altura máxima da trajetória é
© Para uma bola de beisebol com velocidade limite de
, determine
para os casos
, 30 e
e compare com os valores correspondentes no vácuo.
Use o método do exercício 1 para resolver o seguinte: uma massa
está submetida a mover-se ao longo do eixo
sujeita a uma força
, onde
e V são constantes. (a) Determine
se a velocidade inicial for
no instante
. (b) Em que tempo ela atinge instantaneamente o repouso? © Determine o quão distante a massa viaja antes de atingir instantaneamente o repouso.
Um valor típico para o coeficiente da resistência do ar quadrática sobre um ciclista é de cerca de
. Assumindo que a massa total (ciclista mais bicicleta) é
e que, no instante
, o ciclista tem uma velocidade inicial
e inicia o movimento até parar sob a influência da resistência do ar, determine o tempo característico
. Quanto tempo ele irá levar para reduzir a 15
? Quanto tempo para
e para
?