Uma massa
tem velocidade
no instante
e move-se ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é
. Use o método de separação de variáveis (exercício 2) para determinar v em termos do tempo
e dos demais parâmetros. Para que valor de
(se existe algum) a massa
irá alcançar o repouso?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma massa
que está se movendo com uma velocidade inicial
no instante
. Essa massa está viajando ao longo do eixo
em um meio onde a força de arrasto é dada por
, onde
é uma constante. O objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade
em função do tempo
usando o método de separação de variáveis e descobrir em que tempo, se houver, a massa vai parar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a força e a velocidade. De acordo com a segunda lei de Newton, a força é igual à massa vezes a aceleração (
). Aqui, a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo (
). Então, podemos escrever:
Esse é um diferencial que precisamos resolver para encontrar
.
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos que contêm
de um lado e os termos que contêm
do outro lado. Isso faz parte do método de separação de variáveis. Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Assim, temos:
Vamos simplificar e resolver para
.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
quando
para encontrar a constante
:
Substituindo de volta na equação, temos:
Multiplicando todos os termos por
e rearranjando, obtemos:
Então, isolando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Resposta
A velocidade em função do tempo é dada por:
Além disso, a massa
nunca alcança o repouso em um tempo finito. Ou seja,
se aproxima de zero conforme
tende ao infinito, mas nunca chega exatamente a zero em um tempo específico.