Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, x^3).
b) Calcule o trabalho dessa força do ponto A=(0,0) até o ponto B=(1,1) na trajetória y=x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto sendo puxado por uma força F1 = (y, x^3). A missão aqui é calcular o trabalho que essa força faz quando o objeto se move do ponto A (0,0) até o ponto B (1,1) seguindo a trajetória y = x. Isso está na área de Cálculo de Trabalho em Física, onde a gente usa integrais para descobrir quanto trabalho foi feito por uma força ao longo de um caminho específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. Trabalho ( W) é dado pela integral da força ( F) ao longo do deslocamento ( dr) que a força realiza. Matematicamente, isso é expresso como:
W = integral F cdot dr
Aqui, F cdot dr representa o produto escalar entre a força e o deslocamento.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar o caminho que o objeto está seguindo, que é y = x. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde:
x = t y = t
Então, o vetor de deslocamento infinitesimal dr fica:
dr = (dx, dy) = (dt, dt)

Passo 4

Substituindo y e x na força F1, temos:
F1 = (y, x^3) = (t, t^3)
Agora, calcula-se o produto escalar F1 cdot dr:
F1 cdot dr = t cdot dt + t^3 cdot dt = (t + t^3) dt

Passo 5

Finalmente, integramos essa expressão de t = 0 a t = 1 para encontrar o trabalho total:
W = integral0^1 (t + t^3) dt = integral0^1 t , dt + integral0^1 t^3 , dt
Calculando cada parte:
integral0^1 t , dt = 12 t^2 |0^1 = 12
integral0^1 t^3 , dt = 14 t^4 |0^1 = 14
Somando os resultados:
W = 12 + 14 = 34

Resposta

O trabalho realizado pela força F1 ao mover o objeto de A (0,0) até B (1,1) ao longo da trajetória y = x é 34 unidades de trabalho.

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