Considere um objeto sujeito a uma força
dada por
.
e) Calcule o trabalho dessa força do ponto
até o ponto
na trajetória
e) Calcule o trabalho dessa força do ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que está sendo puxado por uma força
. O que a gente precisa é calcular o trabalho dessa força quando o objeto vai do ponto A
até o ponto B
seguindo a trajetória
.
Aqui, estamos lidando com cálculo de trabalho por uma força ao longo de uma curva, que é um conceito de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar integrar a força ao longo da trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória
. Como a trajetória está descrita em termos de
, podemos usar
como nosso parâmetro, ou seja,
.
Então, temos:
onde
varia de 0 a 1, já que vamos do ponto
ao
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão para $ \mathrm{d}\boldsymbol{r} $, que é o vetor deslocamento ao longo da curva.
Derivando
e
em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Agora, substituímos
e
em
pela parametrização em termos de
:
Passo 5
O trabalho
realizado pela força ao longo da trajetória é dado pela integral de linha:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Passo 9
Vamos somar as frações:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao mover o objeto de A até B na trajetória
é
unidades de trabalho.