Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, x^3).
e) Calcule o trabalho dessa força do ponto A=(0,0) até o ponto B=(1,1) na trajetória y=x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um objeto que está sendo puxado por uma força F1 = (y, x^3). O que a gente precisa é calcular o trabalho dessa força quando o objeto vai do ponto A (0,0) até o ponto B (1,1) seguindo a trajetória y = x^4.
Aqui, estamos lidando com cálculo de trabalho por uma força ao longo de uma curva, que é um conceito de cálculo vetorial. Para resolver isso, vamos precisar integrar a força ao longo da trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória y = x^4. Como a trajetória está descrita em termos de x, podemos usar x como nosso parâmetro, ou seja, t = x.
Então, temos:
x = t y = t^4
onde t varia de 0 a 1, já que vamos do ponto (0,0) ao (1,1).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão para $ \mathrm{d}\boldsymbol{r} $, que é o vetor deslocamento ao longo da curva.
Derivando dr e x em relação a y:
t
Portanto,
dxdt = 1 dydt = 4t^3

Passo 4

Agora, substituímos x e y em F1 = (y, x^3) pela parametrização em termos de t:
F1 = (t^4, t^3)

Passo 5

O trabalho W realizado pela força ao longo da trajetória é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Substituindo F e dr:
W = integral0^1 (t^4, t^3) cdot (1, 4t^3) dt

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar dentro da integral:
(t^4, t^3) cdot (1, 4t^3) = t^4 times 1 + t^3 times 4t^3 = t^4 + 4t^6
Então, a integral fica:
W = integral0^1 (t^4 + 4t^6) dt

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral t^4 dt = t^55 integral 4t^6 dt = 4 times t^77 = 4t^77
Portanto:
W = [ t^55 + 4t^77 ]0^1

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
W = ( 1^55 + 4 times 1^77 ) - ( 0^55 + 4 times 0^77 ) = 15 + 47

Passo 9

Vamos somar as frações:
15 + 47 = 735 + 2035 = 2735

Resposta

O trabalho realizado pela força F1 ao mover o objeto de A até B na trajetória y = x^4 é 2735 unidades de trabalho.

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