Considere um objeto sujeito a uma força
dada por
.
c) Calcule o trabalho dessa força do ponto
até o ponto
na trajetória
c) Calcule o trabalho dessa força do ponto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um objeto sendo puxado por uma força
. Precisamos calcular o trabalho feito por essa força ao mover o objeto do ponto
até o ponto
seguindo a trajetória definida por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula do trabalho que envolve integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a trajetória
. Isso significa que podemos descrever qualquer ponto nessa trajetória usando apenas o valor de
. Assim, podemos representar o vetor posição
como:
Passo 3
O trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória é dado pela integral de linha do produto escalar da força pelo deslocamento. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é a força aplicada e
é um vetor infinitesimal de deslocamento ao longo da trajetória.
Passo 4
Vamos calcular o vetor diferencial de deslocamento
. Derivando
em relação a
, temos:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos expressar a força
em termos de
. Sabendo que
, substituímos na força:
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral do trabalho e integramos de
até
:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Então,
Passo 9
Finalmente, avaliamos nos limites de integração:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao mover o objeto de
até
ao longo da trajetória
é
.