Considere um objeto sujeito a uma força F1 dada por F1=(y, x^3).
c) Calcule o trabalho dessa força do ponto A=(0,0) até o ponto B=(1,1) na trajetória y=x^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um objeto sendo puxado por uma força F1 = (y, x^3). Precisamos calcular o trabalho feito por essa força ao mover o objeto do ponto A = (0,0) até o ponto B = (1,1) seguindo a trajetória definida por y = x^2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a fórmula do trabalho que envolve integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a trajetória y = x^2. Isso significa que podemos descrever qualquer ponto nessa trajetória usando apenas o valor de x. Assim, podemos representar o vetor posição r(x) como:
r(x) = (x, x^2)

Passo 3

O trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória é dado pela integral de linha do produto escalar da força pelo deslocamento. Matematicamente, isso é representado por:
W = integralA^B F cdot dr
Aqui, F é a força aplicada e dr é um vetor infinitesimal de deslocamento ao longo da trajetória.

Passo 4

Vamos calcular o vetor diferencial de deslocamento dr. Derivando r(x) em relação a x, temos:
drdx = (1, 2x)
Portanto,
dr = (1, 2x)dx

Passo 5

Agora, vamos expressar a força F1 = (y, x^3) em termos de x. Sabendo que y = x^2, substituímos na força:
F1 = (x^2, x^3)

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar F1 cdot dr:
F1 cdot dr = x^2 cdot 1 + x^3 cdot 2x = x^2 + 2x^4

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral do trabalho e integramos de x = 0 até x = 1:
W = integral0^1 (x^2 + 2x^4) dx

Passo 8

Vamos resolver a integral:
integral x^2 dx = x^33 e integral 2x^4 dx = 2 cdot x^55 = 2x^55
Então,
W = [x^33 + 2x^55]0^1

Passo 9

Finalmente, avaliamos nos limites de integração:
W = (1^33 + 2 cdot 1^55) - (0^33 + 2 cdot 0^55) = 13 + 25 = 515 + 615 = 1115

Resposta

O trabalho realizado pela força F1 ao mover o objeto de A = (0,0) até B = (1,1) ao longo da trajetória y = x^2 é boxeddfrac1115.

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