Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
Determine:
(e) O estado da partícula em um instante de tempo qualquer
.
(e) O estado da partícula em um instante de tempo qualquer
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa $ m $ se movendo na direção $ x $ dentro de um poço de potencial infinito que vai de $ x = 0 $ até $ x = L $. A função de onda que descreve essa partícula em um estado estacionário de energia $ E_n $ é dada por
onde $ n = 1, 2, 3, ··· $. Os autovalores de energia são
Nosso objetivo é determinar o estado da partícula em qualquer instante de tempo $ t $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre como os estados evoluem no tempo.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que, em mecânica quântica, a evolução temporal de um estado estacionário é descrita por um fator de fase que depende do tempo. Isso significa que, se a partícula está em um estado de energia $ E_n $, a função de onda no tempo $ t $ é dada por
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ i $ é a unidade imaginária.
Passo 3
Vamos entender o que esse fator de fase faz. A parte $ e^{-i E_n t / \hbar} $ é uma fase complexa que não afeta a probabilidade de encontrar a partícula em um ponto $ x $, já que o módulo ao quadrado da função de onda permanece igual:
Isso confirma que a distribuição de probabilidade é estacionária, ou seja, não muda com o tempo para estados estacionários.
Passo 4
Agora, substituindo a expressão de $ E_n $ na fórmula da função de onda temporal, temos
Simplificando a expressão no expoente, ficamos com
Resposta
O estado da partícula em um instante de tempo qualquer $ t $ é dado por