Considere uma onda estacionária que resultante da superposição de duas ondas viajando em sentidos opostos, mas idênticas em todos os outros aspectos.
a) Mostre que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária pode ser obtida pela seguinte equação:
b) Compare esse resultado com a energia em uma crista de uma única onda (viajante). Explique a diferença.
a) Mostre que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária pode ser obtida pela seguinte equação:
b) Compare esse resultado com a energia em uma crista de uma única onda (viajante). Explique a diferença.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma onda estacionária, que é formada quando duas ondas iguais se movem em direções opostas e se sobrepõem. A gente vai trabalhar com energia cinética máxima em cada laço (ou ventre) dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se combinam para formar a onda estacionária e como calcular a energia cinética nessas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas viajantes que têm a mesma amplitude, frequência e velocidade, mas se movem em direções opostas. Matemáticamente, podemos representar isso como:
Aqui,
é a amplitude máxima da onda,
é o número de onda,
é a posição,
é a frequência angular, e
é o tempo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a energia cinética em uma onda. A energia cinética por unidade de comprimento em uma onda é dada por:
Onde
é a massa por unidade de comprimento da corda, e
é a derivada da posição da corda em relação ao tempo, que representa a velocidade das partículas da corda.
Passo 4
Vamos calcular
para a nossa onda estacionária:
Então, o quadrado dessa velocidade é:
Passo 5
Substituindo isso na expressão da energia cinética:
Para encontrar a energia total, precisamos integrar isso ao longo de um ciclo e considerar o valor máximo, que ocorre quando
e
(ou seja, no ventre da onda).
Passo 6
A energia cinética máxima por unidade de comprimento então é:
Para encontrar a energia total máxima em um laço (ventre), multiplicamos pela largura de um ciclo, que é
, onde
é a velocidade da onda e
é a frequência.
Passo 7
Calculando a energia total máxima:
Sabendo que
, substituímos:
Resposta
Portanto, demonstramos que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária é dada por: