Considere uma onda estacionária que resultante da superposição de duas ondas viajando em sentidos opostos, mas idênticas em todos os outros aspectos.
a) Mostre que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária pode ser obtida pela seguinte equação: Emax =2 pi^2 mu ymax ^2 f v
b) Compare esse resultado com a energia em uma crista de uma única onda (viajante). Explique a diferença.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão fala sobre uma onda estacionária, que é formada quando duas ondas iguais se movem em direções opostas e se sobrepõem. A gente vai trabalhar com energia cinética máxima em cada laço (ou ventre) dessa onda. Para resolver isso, vamos precisar entender como as ondas se combinam para formar a onda estacionária e como calcular a energia cinética nessas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma onda estacionária é formada pela superposição de duas ondas viajantes que têm a mesma amplitude, frequência e velocidade, mas se movem em direções opostas. Matemáticamente, podemos representar isso como:
y(x, t) = ymax sin(kx) cos(omega t)
Aqui, é a amplitude máxima da onda, é o número de onda, é a posição, é a frequência angular, e é o tempo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a energia cinética em uma onda. A energia cinética por unidade de comprimento em uma onda é dada por:
dEdx = 12 mu ( partial ypartial t )^2
Onde é a massa por unidade de comprimento da corda, e é a derivada da posição da corda em relação ao tempo, que representa a velocidade das partículas da corda.

Passo 4

Vamos calcular partial ypartial t = -ymax sin(kx) omega sin(omega t) para a nossa onda estacionária:
( partial ypartial t )^2 = ymax^2 sin^2(kx) omega^2 sin^2(omega t)
Então, o quadrado dessa velocidade é:

Passo 5

Substituindo isso na expressão da energia cinética:
dEdx = 12 mu ymax^2 sin^2(kx) omega^2 sin^2(omega t)
Para encontrar a energia total, precisamos integrar isso ao longo de um ciclo e considerar o valor máximo, que ocorre quando e (ou seja, no ventre da onda).

Passo 6

A energia cinética máxima por unidade de comprimento então é:
( dEdx )max = 12 mu ymax^2 omega^2
Para encontrar a energia total máxima em um laço (ventre), multiplicamos pela largura de um ciclo, que é , onde é a velocidade da onda e é a frequência.

Passo 7

Calculando a energia total máxima:
Emax = 12 mu ymax^2 omega^2 lambda = 12 mu ymax^2 omega^2 vf
Sabendo que Emax = 12 mu ymax^2 (2pi f)^2 vf = 2 pi^2 mu ymax ^2 vf , substituímos:

Resposta

Portanto, demonstramos que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária é dada por:
Emax =2 pi^2 mu ymax ^2 f v

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