Um fio de massa m e comprimento l está preso por uma de suas extremidades em um ponto alto e o resto do fio é solto ficando assim pendurado livremente sob seu próprio peso. Mostre que o tempo gasto por uma onda transversal produzida no fio percorrerá todo o seu comprimento pode ser dado por: t=2 raizlg

Passo 1

Vamos entender o problema: temos um fio com massa m e comprimento l preso em uma das extremidades e pendurado livremente sob seu próprio peso. Queremos mostrar que o tempo que uma onda transversal leva para percorrer todo o comprimento do fio é dado por t = 2 raizlg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas em fios e a influência da gravidade no movimento da onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a gravidade afeta a tensão no fio. A tensão em qualquer ponto do fio é causada pelo peso do segmento de fio abaixo desse ponto. Vamos considerar um ponto a uma distância y do topo do fio. O peso desse segmento é dado por:
P = lambda g y
onde lambda = ml é a densidade linear de massa do fio e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A velocidade da onda em um fio depende da tensão T e da densidade linear de massa mu pelo seguinte relacionamento:
v = raizTmu
Substituindo a tensão T pelo peso P que calculamos:
v(y) = raizlambda g ylambda = raizg y
Então, a velocidade da onda em um ponto a uma altura y é v(y) = raizg y.

Passo 4

Para encontrar o tempo total que a onda leva para percorrer todo o comprimento do fio, precisamos considerar que a velocidade da onda varia ao longo do fio. O tempo dt para a onda percorrer um pequeno segmento dy é:
dt = dyv(y) = dyraizg y

Passo 5

Integrando este tempo sobre todo o comprimento do fio, de y = 0 até y = l, obtemos o tempo total t:
t = integral0^l dyraizg y = 2raizg raizy gr|0^l = 2raizg raizl - 0 = 2 raizlg

Resposta

O tempo gasto pela onda transversal para percorrer todo o comprimento do fio é:
t = 2 raizlg

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