Um fio de massa
e comprimento
está preso por uma de suas extremidades em um ponto alto e o resto do fio é solto ficando assim pendurado livremente sob seu próprio peso. Mostre que o tempo gasto por uma onda transversal produzida no fio percorrerá todo o seu comprimento pode ser dado por:
Passo 1
Vamos entender o problema: temos um fio com massa
e comprimento
preso em uma das extremidades e pendurado livremente sob seu próprio peso. Queremos mostrar que o tempo que uma onda transversal leva para percorrer todo o comprimento do fio é dado por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas em fios e a influência da gravidade no movimento da onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a gravidade afeta a tensão no fio. A tensão em qualquer ponto do fio é causada pelo peso do segmento de fio abaixo desse ponto. Vamos considerar um ponto a uma distância
do topo do fio. O peso desse segmento é dado por:
onde
é a densidade linear de massa do fio e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A velocidade da onda em um fio depende da tensão
e da densidade linear de massa
pelo seguinte relacionamento:
Substituindo a tensão
pelo peso
que calculamos:
Então, a velocidade da onda em um ponto a uma altura
é
.
Passo 4
Para encontrar o tempo total que a onda leva para percorrer todo o comprimento do fio, precisamos considerar que a velocidade da onda varia ao longo do fio. O tempo
para a onda percorrer um pequeno segmento
é:
Passo 5
Integrando este tempo sobre todo o comprimento do fio, de
até
, obtemos o tempo total
:
Resposta
O tempo gasto pela onda transversal para percorrer todo o comprimento do fio é: