Uma corda elástica é presa (esticada) entre dois pontos fixos separados de
um do outro. Quando colocada para oscilar ela apresenta ressonância nas frequências de 420 Hz e 315 Hz com nenhuma outra frequência intermediária.
a) Determine a velocidade da onda nesta corda.
b) Calcule o valor da mais baixa frequência (fundamental) que pode se estabelecer nesta corda. Resp: a)
; b) 105 Hz
a) Determine a velocidade da onda nesta corda.
b) Calcule o valor da mais baixa frequência (fundamental) que pode se estabelecer nesta corda. Resp: a)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma corda elástica esticada entre dois pontos fixos que estão separados por
. Quando a corda oscila, ela apresenta ressonância em duas frequências: 420 Hz e 315 Hz, e não há outras frequências intermediárias. O conteúdo principal aqui envolve ondas em cordas e ressonância. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender como calcular a velocidade da onda na corda e determinar a frequência fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a): determinar a velocidade da onda na corda. Sabemos que a velocidade da onda (
) em uma corda é relacionada à sua frequência (
) e ao comprimento de onda (
) pela fórmula:
Passo 3
No caso de cordas fixas em ambas as extremidades, os comprimentos de onda que se formam são tais que a corda acomoda um número inteiro de meios comprimentos de onda. Isso significa que as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da frequência fundamental. As frequências dadas são 420 Hz e 315 Hz, e elas devem corresponder a dois harmônicos consecutivos.
Passo 4
Vamos chamar a frequência fundamental de
. Os harmônicos subsequentes são múltiplos inteiros dessa frequência. Portanto, podemos relacionar as duas frequências dadas como sendo:
Mas, observando as frequências dadas, 315 Hz e 420 Hz, percebemos que:
Isso sugere que as duas frequências dadas correspondem ao segundo e terceiro harmônicos. Portanto:
No entanto, isso não está de acordo com a resposta esperada, então precisamos reavaliar nossa abordagem.
Passo 5
Outro jeito de pensar é que, dependendo da documentação das frequências, as duas frequências dadas são conflitos entre o primeiro e segundo modos onde não há frequências intermediárias. Podemos calcular a velocidade da onda considerando que a diferença entre as frequências corresponde a um modo.
A velocidade da onda também pode ser calculada usando a distância entre os pontos fixos, que neste caso é o comprimento da corda (
). Para uma corda fixa, os comprimentos de onda dos harmônicos são relacionados por:
Onde
é o número do harmônico.
Passo 6
Vamos usar as duas frequências dadas para encontrar a velocidade da onda. Sabemos que:
E as relações de comprimento de onda para os harmônicos são:
Vamos supor que 315 Hz seja o primeiro harmônico (
) e 420 Hz seja o segundo harmônico (
).
Então:
Passo 7
Agora, calculamos a velocidade da onda para cada frequência:
Para
:
Para
:
Observamos que as duas velocidades não coincidem, o que indica que nossa suposição inicial estava incorreta.
Passo 8
Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que a diferença entre as frequências dos harmônicos consecutivos é:
A diferença entre 420 Hz e 315 Hz é:
Então:
Arredondando, temos:
Resposta
a)
b)