Uma corda elástica é presa (esticada) entre dois pontos fixos separados de 75,0 cm um do outro. Quando colocada para oscilar ela apresenta ressonância nas frequências de 420 Hz e 315 Hz com nenhuma outra frequência intermediária.
a) Determine a velocidade da onda nesta corda.
b) Calcule o valor da mais baixa frequência (fundamental) que pode se estabelecer nesta corda. Resp: a) 158 m / s; b) 105 Hz

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos uma corda elástica esticada entre dois pontos fixos que estão separados por 75,0 cm. Quando a corda oscila, ela apresenta ressonância em duas frequências: 420 Hz e 315 Hz, e não há outras frequências intermediárias. O conteúdo principal aqui envolve ondas em cordas e ressonância. Para resolver as partes a) e b), vamos precisar entender como calcular a velocidade da onda na corda e determinar a frequência fundamental.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a): determinar a velocidade da onda na corda. Sabemos que a velocidade da onda ( v) em uma corda é relacionada à sua frequência ( f) e ao comprimento de onda ( lambda) pela fórmula:
v = f times lambda

Passo 3

No caso de cordas fixas em ambas as extremidades, os comprimentos de onda que se formam são tais que a corda acomoda um número inteiro de meios comprimentos de onda. Isso significa que as frequências de ressonância são múltiplos inteiros da frequência fundamental. As frequências dadas são 420 Hz e 315 Hz, e elas devem corresponder a dois harmônicos consecutivos.

Passo 4

Vamos chamar a frequência fundamental de f1. Os harmônicos subsequentes são múltiplos inteiros dessa frequência. Portanto, podemos relacionar as duas frequências dadas como sendo:
f2 = 2f1 f3 = 3f1
Mas, observando as frequências dadas, 315 Hz e 420 Hz, percebemos que:
420315 = 43
Isso sugere que as duas frequências dadas correspondem ao segundo e terceiro harmônicos. Portanto:
f2 = 420 , Hz f1 = 4202 = 210 , Hz
No entanto, isso não está de acordo com a resposta esperada, então precisamos reavaliar nossa abordagem.

Passo 5

Outro jeito de pensar é que, dependendo da documentação das frequências, as duas frequências dadas são conflitos entre o primeiro e segundo modos onde não há frequências intermediárias. Podemos calcular a velocidade da onda considerando que a diferença entre as frequências corresponde a um modo.
A velocidade da onda também pode ser calculada usando a distância entre os pontos fixos, que neste caso é o comprimento da corda ( L). Para uma corda fixa, os comprimentos de onda dos harmônicos são relacionados por:
lambdan = 2Ln
Onde n é o número do harmônico.

Passo 6

Vamos usar as duas frequências dadas para encontrar a velocidade da onda. Sabemos que:
v = f1 lambda1 = f2 lambda2
E as relações de comprimento de onda para os harmônicos são:
lambdan = 2Ln
Vamos supor que 315 Hz seja o primeiro harmônico ( n=1) e 420 Hz seja o segundo harmônico ( n=2).
Então:
lambda1 = 2L = 2 times 0,75 , m = 1,5 , m lambda2 = 2L2 = 1,52 = 0,75 , m

Passo 7

Agora, calculamos a velocidade da onda para cada frequência:
Para f1 = 315 , Hz:
v = f1 times lambda1 = 315 times 1,5 = 472,5 , m/s
Para f2 = 420 , Hz:
v = f2 times lambda2 = 420 times 0,75 = 315 , m/s
Observamos que as duas velocidades não coincidem, o que indica que nossa suposição inicial estava incorreta.

Passo 8

Vamos tentar outra abordagem. Sabemos que a diferença entre as frequências dos harmônicos consecutivos é:
De
A diferença entre 420 Hz e 315 Hz é:
De
Então:
105 = v2 times 0,75 105 = v1,5 v = 105 times 1,5 v = 157,5 , m/s
Arredondando, temos:
v = 158 , m/s

Resposta

a) 158 m / s
b) 105 , Hz

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