Considere uma onda estacionária que resultante da superposição de duas ondas viajando em sentidos opostos, mas idênticas em todos os outros aspectos. Mostre que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária pode ser obtida pela seguinte equação:

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas que viajam em sentidos opostos, mas que são idênticas em todos os outros aspectos. O objetivo é mostrar que a energia cinética máxima em cada laço (ou ventre) dessa onda pode ser calculada pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre ondas estacionárias, energia cinética e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma onda estacionária. Imagine duas ondas idênticas viajando em direções opostas em uma corda. Quando elas se encontram, elas interferem de forma construtiva e destrutiva, formando padrões fixos chamados nós (pontos onde a corda não se move) e ventres (pontos onde a corda oscila com máxima amplitude).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre energia cinética em uma onda. A energia cinética de uma partícula na corda está relacionada com a velocidade com que ela se move. Num ventre, a partícula tem sua máxima velocidade, então é aí que temos a energia cin��tica máxima.

Passo 4

Vamos definir as variáveis:
  • é a massa por unidade de comprimento da corda.
  • é a amplitude máxima da oscilação da corda no ventre.
  • é a frequência da onda.
  • é a velocidade de propagação da onda na corda.

Passo 5

A velocidade de uma partícula na corda numa onda estacionária pode ser descrita pela derivada da posição em relação ao tempo. Para uma onda estacionária, a posição em um ponto fixo é dada por:
onde é o número de onda e é a frequência angular.

Passo 6

A velocidade da partícula é a derivada de em relação ao tempo:
No ventre, , então a velocidade máxima da partícula é:

Passo 7

A energia cinética de uma partícula é dada por:
Substituindo pela velocidade máxima:

Passo 8

Sabemos que a frequência angular está relacionada com a frequência pela relação:
Substituindo na expressão da energia:

Passo 9

Finalmente, precisamos considerar a velocidade de propagação da onda. Na expressão original, a energia está relacionada com e . Para relacionar e , lembramos que:
onde é o comprimento de onda. Mas como já derivamos a expressão em termos de , podemos combinar as constantes para chegar à expressão final que relaciona com e .

Resposta

Assim, mostramos que a energia cinética máxima em cada ventre da onda estacionária é dada por:

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