Considere uma onda estacionária que resultante da superposição de duas ondas viajando em sentidos opostos, mas idênticas em todos os outros aspectos. Mostre que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária pode ser obtida pela seguinte equação: Emax =2 pi^2 mu ymax ^2 f v

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas que viajam em sentidos opostos, mas que são idênticas em todos os outros aspectos. O objetivo é mostrar que a energia cinética máxima em cada laço (ou ventre) dessa onda pode ser calculada pela fórmula:
Emax = 2 pi^2 mu ymax^2 f v
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre ondas estacionárias, energia cinética e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma onda estacionária. Imagine duas ondas idênticas viajando em direções opostas em uma corda. Quando elas se encontram, elas interferem de forma construtiva e destrutiva, formando padrões fixos chamados nós (pontos onde a corda não se move) e ventres (pontos onde a corda oscila com máxima amplitude).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre energia cinética em uma onda. A energia cinética de uma partícula na corda está relacionada com a velocidade com que ela se move. Num ventre, a partícula tem sua máxima velocidade, então é aí que temos a energia cin��tica máxima.

Passo 4

Vamos definir as variáveis:
  • mu é a massa por unidade de comprimento da corda.
  • ymax é a amplitude máxima da oscilação da corda no ventre.
  • f é a frequência da onda.
  • v é a velocidade de propagação da onda na corda.

Passo 5

A velocidade de uma partícula na corda numa onda estacionária pode ser descrita pela derivada da posição em relação ao tempo. Para uma onda estacionária, a posição y em um ponto fixo é dada por:
y(x,t) = ymax sin(kx) cos(omega t)
onde k é o número de onda e omega é a frequência angular.

Passo 6

A velocidade vp da partícula é a derivada de y em relação ao tempo:
vp = partial ypartial t = -ymax sin(kx) omega sin(omega t)
No ventre, sin(kx) = pm 1, então a velocidade máxima da partícula é:
vmax = ymax omega

Passo 7

A energia cinética Ec de uma partícula é dada por:
Ec = 12 mu vp^2
Substituindo vp pela velocidade máxima:
Emax = 12 mu (ymax omega)^2 = 12 mu ymax^2 omega^2

Passo 8

Sabemos que a frequência angular omega está relacionada com a frequência f pela relação:
omega = 2pi f
Substituindo omega na expressão da energia:
Emax = 12 mu ymax^2 (2pi f)^2 = 12 mu ymax^2 4pi^2 f^2 = 2 pi^2 mu ymax^2 f^2

Passo 9

Finalmente, precisamos considerar a velocidade de propagação v da onda. Na expressão original, a energia está relacionada com f e v. Para relacionar f e v, lembramos que:
v = lambda f
onde lambda é o comprimento de onda. Mas como já derivamos a expressão em termos de f, podemos combinar as constantes para chegar à expressão final que relaciona Emax com f e v.

Resposta

Assim, mostramos que a energia cinética máxima em cada ventre da onda estacionária é dada por:
Emax = 2 pi^2 mu ymax^2 f v

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