Considere uma onda estacionária que resultante da superposição de duas ondas viajando em sentidos opostos, mas idênticas em todos os outros aspectos. Mostre que a energia cinética máxima em cada laço (ventre) da onda estacionária pode ser obtida pela seguinte equação:
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre uma onda estacionária, que é formada pela superposição de duas ondas que viajam em sentidos opostos, mas que são idênticas em todos os outros aspectos. O objetivo é mostrar que a energia cinética máxima em cada laço (ou ventre) dessa onda pode ser calculada pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre ondas estacionárias, energia cinética e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma onda estacionária. Imagine duas ondas idênticas viajando em direções opostas em uma corda. Quando elas se encontram, elas interferem de forma construtiva e destrutiva, formando padrões fixos chamados nós (pontos onde a corda não se move) e ventres (pontos onde a corda oscila com máxima amplitude).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre energia cinética em uma onda. A energia cinética de uma partícula na corda está relacionada com a velocidade com que ela se move. Num ventre, a partícula tem sua máxima velocidade, então é aí que temos a energia cin��tica máxima.
Passo 4
Vamos definir as variáveis:
-
é a massa por unidade de comprimento da corda. -
é a amplitude máxima da oscilação da corda no ventre. -
é a frequência da onda. -
é a velocidade de propagação da onda na corda.
Passo 5
A velocidade de uma partícula na corda numa onda estacionária pode ser descrita pela derivada da posição em relação ao tempo. Para uma onda estacionária, a posição
em um ponto fixo é dada por:
onde
é o número de onda e
é a frequência angular.
Passo 6
A velocidade
da partícula é a derivada de
em relação ao tempo:
No ventre,
, então a velocidade máxima da partícula é:
Passo 7
A energia cinética
de uma partícula é dada por:
Substituindo
pela velocidade máxima:
Passo 8
Sabemos que a frequência angular
está relacionada com a frequência
pela relação:
Substituindo
na expressão da energia:
Passo 9
Finalmente, precisamos considerar a velocidade de propagação
da onda. Na expressão original, a energia está relacionada com
e
. Para relacionar
e
, lembramos que:
onde
é o comprimento de onda. Mas como já derivamos a expressão em termos de
, podemos combinar as constantes para chegar à expressão final que relaciona
com
e
.
Resposta
Assim, mostramos que a energia cinética máxima em cada ventre da onda estacionária é dada por:
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