Uma corda vibra de acordo com a equação:
Quais são as amplitudes e as velocidades das componentes de onda cuja superposição pode gerar esta vibração?
Quais são as amplitudes e as velocidades das componentes de onda cuja superposição pode gerar esta vibração?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que descreve como uma corda está vibrando ao longo do tempo e do espaço. A matéria que vamos usar aqui é Ondulatória, especificamente sobre ondas estacionárias e superposição de ondas. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma onda estacionária pode ser decomposta em duas ondas que se movem em direções opostas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação da vibração da corda:
Aqui,
descreve a posição vertical da corda em função da posição
e do tempo
.
Passo 3
A equação que temos é uma forma de onda estacionária. Ondas estacionárias são formadas pela superposição de duas ondas que viajam em direções opostas com a mesma velocidade e amplitude. A forma geral para uma onda estacionária é:
Comparando com a nossa equação, podemos identificar que
.
Passo 4
Vamos encontrar a amplitude
das ondas que estão se superpondo. Sabemos que:
Então, dividindo ambos os lados por 2:
Então, cada uma das ondas que formam a onda estacionária tem uma amplitude de
.
Passo 5
Agora, vamos identificar os outros componentes da equação. Na onda estacionária,
é o número de onda e
é a frequência angular. Na nossa equação:
A velocidade das ondas
pode ser calculada usando a relação:
Passo 6
Vamos calcular a velocidade
:
Então, a velocidade de cada componente de onda é aproximadamente
.
Resposta
As ondas que se superpõem têm uma amplitude de
cada e uma velocidade de aproximadamente
.