Uma corda vibra de acordo com a equação:

Quais são as amplitudes e as velocidades das componentes de onda cuja superposição pode gerar esta vibração?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação que descreve como uma corda está vibrando ao longo do tempo e do espaço. A matéria que vamos usar aqui é Ondulatória, especificamente sobre ondas estacionárias e superposição de ondas. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma onda estacionária pode ser decomposta em duas ondas que se movem em direções opostas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação da vibração da corda:
Aqui, descreve a posição vertical da corda em função da posição e do tempo .

Passo 3

A equação que temos é uma forma de onda estacionária. Ondas estacionárias são formadas pela superposição de duas ondas que viajam em direções opostas com a mesma velocidade e amplitude. A forma geral para uma onda estacionária é:
Comparando com a nossa equação, podemos identificar que .

Passo 4

Vamos encontrar a amplitude das ondas que estão se superpondo. Sabemos que:
Então, dividindo ambos os lados por 2:
Então, cada uma das ondas que formam a onda estacionária tem uma amplitude de .

Passo 5

Agora, vamos identificar os outros componentes da equação. Na onda estacionária, é o número de onda e é a frequência angular. Na nossa equação:
A velocidade das ondas pode ser calculada usando a relação:

Passo 6

Vamos calcular a velocidade :
Então, a velocidade de cada componente de onda é aproximadamente .

Resposta

As ondas que se superpõem têm uma amplitude de cada e uma velocidade de aproximadamente .

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