Considere uma onda harmônica (onda 1) unidimensional progressiva que se propaga em uma corda descrita pelas seguintes quantidades: Amplitude de 4 metros, comprimento de onda de metros e período de segundos.
a) Qual equação que descreve essa onda?
b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?
c) Agora considere que uma outra onda se propaga na corda, onda 2, que é idêntica à onda 1, a menos de uma diferença de fase de . Como temos duas ondas se propagando na mesma corda, ocorre o fenômeno de interferência, de modo que as ondas se somam produzindo uma onda resultante. Qual a equação que descreve essa onda resultante?
c) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?
d) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de ?
e) Forneça pelo menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a interferência entre as ondas seja completamente destrutiva?
f) Suponha que a onda 1 essa seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas harmônicas em uma corda! A gente tem uma onda progressiva com amplitude de 4 metros, comprimento de onda de metros e período de segundos. Vamos precisar usar conceitos de equações de ondas, frequência, velocidade de propagação, interferência de ondas e movimento harmônico simples (MHS) para resolver todas as partes do exercício.

Passo 2

a) Qual equação que descreve essa onda?

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma onda harmônica unidimensional progressiva é:
Onde:
  • é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Vamos identificar cada um desses valores com os dados fornecidos.
  • Amplitude ( ): 4 metros.
  • Comprimento de onda ( ): metros. O número de onda é dado por , então m⁻¹.
  • Período ( ): segundos. A frequência é Hz. A frequência angular é rad/s.
  • Fase inicial ( ): Não foi dada, então assumimos .
Então, substituindo na equação:

Passo 3

b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?

Já sabemos a frequência que calculamos no passo anterior:
Agora, vamos calcular a velocidade de propagação ( ) da onda. A velocidade está relacionada com o comprimento de onda e a frequência pela fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a frequência é e a velocidade de propagação é .

Passo 4

c) Qual a equação que descreve essa onda resultante?

Agora temos duas ondas se propagando na mesma corda:
  • Onda 1:
  • Onda 2: Idêntica à onda 1, mas com diferença de fase de .
A onda 2 então é:
Quando temos duas ondas se somando, aplicamos a fórmula da superposição:
Para somar essas duas ondas, podemos usar a identidade trigonométrica para a soma de senos com diferença de fase:
Onde é a diferença de fase. Neste caso:
Substituindo os valores:
Sabemos que e :
Então, a equação da onda resultante é:

Passo 5

d) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?

Pela equação que encontramos:
A amplitude é o coeficiente que multiplica o seno, então:

Passo 6

e) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de ?

Queremos que a amplitude resultante seja . A amplitude resultante para duas ondas com amplitudes iguais é dada por:
Queremos que:
Simplificando:
Sabemos que quando , onde é inteiro.
Então:
Portanto, um valor de diferença de fase que satisfaz é:
ú

Passo 7

f) Forneça pelo menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a interferência entre as ondas seja completamente destrutiva?

A interferência é completamente destrutiva quando a amplitude resultante é zero. Isso acontece quando as duas ondas estão em fase oposta, ou seja, a diferença de fase é radianos (ou ).
Usando a fórmula da amplitude resultante:
Isso ocorre quando:
O que acontece quando:
Portanto, um valor de que causa interferência totalmente destrutiva é:

Passo 8

g) Suponha que a onda 1 seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?

Um sistema massa-mola em Movimento Harmônico Simples (MHS) tem uma equação de posição semelhante à equação de onda, mas depende apenas do tempo. A equação geral é:
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Da onda 1 temos:
  • ,
  • ,
  • .
Então, a equação do MHS é:

Resposta

Todas as equações e valores foram encontrados conforme os passos acima:
a) Equação da onda 1:
b) Frequência: , Velocidade de propagação:
c) Equação da onda resultante:
d) Amplitude da onda resultante:
e) Um valor de para amplitude de :
f) Um valor de para interferência completamente destrutiva:
g) Equação do MHS:

Exercícios relacionados

Mostre que pode ser escrito nas seguintes formas alternativas:
а)
b)
c)
d)
Em um pesadelo, João está correndo para salvar a própria pele. Um carro do gás persegue-o tocando a sua famosa musiquinha inquietante. O carro se move em direção a João com velocidade . Enquanto isso, João, pulsando adrenalina, corre com velocidade . João e o carro se movem em uma mesma reta. Assuma que a velocidade do som no ar é constante. Usando o efeito doppler para justificar sua resposta, qual a relação entre as velocidades, para que a musiquinha do gás seja percebida por ele de forma
a) mais aguda do que a tonalidade original tocada pelo carro do gás.
b) mais grave do que a tonalidade original tocada pelo carro do gás.
c) exatamente igual à tonalidade original tocada pelo carro do gás.
d) que não ouça nenhum som emitido pelo carro.
Um flautista toca uma nota Sol, com qual velocidade deve um ouvinte se locomover em direção ao flautista para que ele detecte a nota emitida como um Lá? (considere , e a velocidade do som ).
Duas ondas periódicas harmônicas iguais, propagando-se no mesmo sentido em uma corda, interferem entre si. A amplitude de ambas ondas é igual a , e a diferença de fase entre elas é
a) Qual é a amplitude da onda resultante?
b) Defina cada um dos possíveis tipos de interferência: construtiva, destrutiva e intermediária. No caso específico da questão, qual desses três tipos de interferência ocorre?
c) Quais diferenças de fase faz com que a amplitude da onda resultante seja 4 m e 0 m ?