Considere uma onda harmônica (onda 1) unidimensional progressiva que se propaga em uma corda descrita pelas seguintes quantidades: Amplitude de 4 metros, comprimento de onda de 2 pi metros e período de pi segundos.
a) Qual equação que descreve essa onda?
b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?
c) Agora considere que uma outra onda se propaga na corda, onda 2, que é idêntica à onda 1, a menos de uma diferença de fase de phi=60^circ. Como temos duas ondas se propagando na mesma corda, ocorre o fenômeno de interferência, de modo que as ondas 1 e 2 se somam produzindo uma onda resultante. Qual a equação que descreve essa onda resultante?
c) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?
d) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de 8 m ?
e) Forneça pelo menos um valor de phi (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a interferência entre as ondas seja completamente destrutiva?
f) Suponha que a onda 1 essa seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas harmônicas em uma corda! A gente tem uma onda progressiva com amplitude de 4 metros, comprimento de onda de metros e período de segundos. Vamos precisar usar conceitos de equações de ondas, frequência, velocidade de propagação, interferência de ondas e movimento harmônico simples (MHS) para resolver todas as partes do exercício.

Passo 2

a) Qual equação que descreve essa onda?

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma onda harmônica unidimensional progressiva é:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • y(x, t) = 4 sin(x - 2t) é a amplitude,
  • é o número de onda,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Vamos identificar cada um desses valores com os dados fornecidos.
  • Amplitude ( ): 4 metros.
  • Comprimento de onda ( ): metros. O número de onda é dado por , então m⁻¹.
  • Período ( ): segundos. A frequência é Hz. A frequência angular é rad/s.
  • Fase inicial ( ): Não foi dada, então assumimos .
Então, substituindo na equação:

Passo 3

b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?

Já sabemos a frequência f = 1T = 1pi Hz que calculamos no passo anterior:
v = lambda cdot f
Agora, vamos calcular a velocidade de propagação ( v = 2pi cdot 1pi = 2 m/s ) da onda. A velocidade está relacionada com o comprimento de onda e a frequência pela fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a frequência é e a velocidade de propagação é .

Passo 4

c) Qual a equação que descreve essa onda resultante?

Agora temos duas ondas se propagando na mesma corda:
  • Onda 1: y2(x, t) = 4 sin(x - 2t + 60^circ)
  • Onda 2: Idêntica à onda 1, mas com diferença de fase de yresu.
A onda 2 então é:
yresu
Quando temos duas ondas se somando, aplicamos a fórmula da superposição:
De
Para somar essas duas ondas, podemos usar a identidade trigonométrica para a soma de senos com diferença de fase:
yresu
Onde yresu é a diferença de fase. Neste caso:
yresu
Substituindo os valores:
Sabemos que e :
Então, a equação da onda resultante é:

Passo 5

d) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?

Pela equação que encontramos:
yresu
A amplitude é o coeficiente que multiplica o seno, então:
Aresu

Passo 6

e) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de Aresu?

Queremos que a amplitude resultante seja 2 cdot 4 cdot cos(De. A amplitude resultante para duas ondas com amplitudes iguais é dada por:
8 cos(De
Queremos que:
De
Simplificando:
De
Sabemos que quando , onde é inteiro.
Então:
Portanto, um valor de diferença de fase que satisfaz é:
ú

Passo 7

f) Forneça pelo menos um valor de Aresu (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a interferência entre as ondas seja completamente destrutiva?

A interferência é completamente destrutiva quando a amplitude resultante é zero. Isso acontece quando as duas ondas estão em fase oposta, ou seja, a diferença de fase é cos(De radianos (ou De).
Usando a fórmula da amplitude resultante:
De
Isso ocorre quando:
O que acontece quando:
Portanto, um valor de que causa interferência totalmente destrutiva é:

Passo 8

g) Suponha que a onda 1 seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?

Um sistema massa-mola em Movimento Harmônico Simples (MHS) tem uma equação de posição semelhante à equação de onda, mas depende apenas do tempo. A equação geral é:
x(t) = A sin(omega t + phi)
Onde:
  • x(t) = 4 sin(2t) é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.
Da onda 1 temos:
  • ,
  • ,
  • .
Então, a equação do MHS é:

Resposta

Todas as equações e valores foram encontrados conforme os passos acima:
a) Equação da onda 1:
y(x, t) = 4 sin(x - 2t)
b) Frequência: yresu, Velocidade de propagação: x(t) = 4 sin(2t)
c) Equação da onda resultante:
d) Amplitude da onda resultante:
e) Um valor de para amplitude de :
f) Um valor de para interferência completamente destrutiva:
g) Equação do MHS:

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