Considere uma onda harmônica (onda 1) unidimensional progressiva que se propaga em uma corda descrita pelas seguintes quantidades: Amplitude de 4 metros, comprimento de onda de
metros e período de
segundos.
a) Qual equação que descreve essa onda?
b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?
c) Agora considere que uma outra onda se propaga na corda, onda 2, que é idêntica à onda 1, a menos de uma diferença de fase de
. Como temos duas ondas se propagando na mesma corda, ocorre o fenômeno de interferência, de modo que as ondas
se somam produzindo uma onda resultante. Qual a equação que descreve essa onda resultante?
c) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?
d) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de
?
e) Forneça pelo menos um valor de
(diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a interferência entre as ondas seja completamente destrutiva?
f) Suponha que a onda 1 essa seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?
a) Qual equação que descreve essa onda?
b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?
c) Agora considere que uma outra onda se propaga na corda, onda 2, que é idêntica à onda 1, a menos de uma diferença de fase de
c) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?
d) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de
e) Forneça pelo menos um valor de
f) Suponha que a onda 1 essa seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas harmônicas em uma corda! A gente tem uma onda progressiva com amplitude de 4 metros, comprimento de onda de
metros e período de
segundos. Vamos precisar usar conceitos de equações de ondas, frequência, velocidade de propagação, interferência de ondas e movimento harmônico simples (MHS) para resolver todas as partes do exercício.
Passo 2
a) Qual equação que descreve essa onda?
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma onda harmônica unidimensional progressiva é:
Onde:
-
é a amplitude, -
é o número de onda, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Vamos identificar cada um desses valores com os dados fornecidos.
- Amplitude (
): 4 metros. - Comprimento de onda (
): metros. O número de onda é dado por , então m⁻¹. - Período (
): segundos. A frequência é Hz. A frequência angular é rad/s. - Fase inicial (
): Não foi dada, então assumimos .
Então, substituindo na equação:
Passo 3
b) Qual a frequência e a velocidade de propagação dessa onda?
Já sabemos a frequência
que calculamos no passo anterior:
Agora, vamos calcular a velocidade de propagação (
) da onda. A velocidade está relacionada com o comprimento de onda e a frequência pela fórmula:
Substituindo os valores:
Então, a frequência é
e a velocidade de propagação é
.
Passo 4
c) Qual a equação que descreve essa onda resultante?
Agora temos duas ondas se propagando na mesma corda:
- Onda 1:
- Onda 2: Idêntica à onda 1, mas com diferença de fase de
.
A onda 2 então é:
Quando temos duas ondas se somando, aplicamos a fórmula da superposição:
Para somar essas duas ondas, podemos usar a identidade trigonométrica para a soma de senos com diferença de fase:
Onde
é a diferença de fase. Neste caso:
Substituindo os valores:
Sabemos que
e
:
Então, a equação da onda resultante é:
Passo 5
d) Qual a amplitude da onda resultante encontrada no item anterior?
Pela equação que encontramos:
A amplitude é o coeficiente que multiplica o seno, então:
Passo 6
e) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de
?
Queremos que a amplitude resultante seja
. A amplitude resultante para duas ondas com amplitudes iguais é dada por:
Queremos que:
Simplificando:
Sabemos que
quando
, onde
é inteiro.
Então:
Portanto, um valor de diferença de fase que satisfaz é:
Passo 7
f) Forneça pelo menos um valor de
(diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a interferência entre as ondas seja completamente destrutiva?
A interferência é completamente destrutiva quando a amplitude resultante é zero. Isso acontece quando as duas ondas estão em fase oposta, ou seja, a diferença de fase é
radianos (ou
).
Usando a fórmula da amplitude resultante:
Isso ocorre quando:
O que acontece quando:
Portanto, um valor de
que causa interferência totalmente destrutiva é:
Passo 8
g) Suponha que a onda 1 seja produzida a partir de um sistema massa-mola realizando um MHS, qual equação que descreve esse MHS?
Um sistema massa-mola em Movimento Harmônico Simples (MHS) tem uma equação de posição semelhante à equação de onda, mas depende apenas do tempo. A equação geral é:
Onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Da onda 1 temos:
-
, -
, -
.
Então, a equação do MHS é:
Resposta
Todas as equações e valores foram encontrados conforme os passos acima:
a) Equação da onda 1:
b) Frequência:
, Velocidade de propagação:
c) Equação da onda resultante:
d) Amplitude da onda resultante:
e) Um valor de
para amplitude de
:
f) Um valor de
para interferência completamente destrutiva:
g) Equação do MHS: