Mostre que y(x, t)=ym cos (k x-omega t) pode ser escrito nas seguintes formas alternativas:
а) y(x, t)=ym cos (k x-omega t)
b) y(x, t)=ym cos (2 pi(x / lambda-f t))
c) y(x, t)=ym cos (omega(x / v-t))
d) y(x, t)=ym cos (2 pi(x / lambda-t / T))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a equação da onda pode ser reescrita de formas alternativas. Vamos utilizar conceitos de física sobre ondas, como comprimento de onda ( ), frequência ( ), período ( ), velocidade ( ) e as relações entre essas grandezas e os parâmetros e na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas relações importantes entre os parâmetros:
  1. A relação entre o número de onda k = 2pilambda e o comprimento de onda f = 1T é: v = lambda f
  2. A relação entre a frequência omega = 2pi f e o período é:
  3. A relação entre a frequência e a velocidade da onda é:
  4. A relação entre a angular frequência e a frequência é:
Essas relações vão nos ajudar a substituir os termos na equação original para obter as formas alternativas.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) do exercício:
a)
Essa já é a equação original dada no enunciado, então não precisamos fazer nenhuma alteração aqui. Passamos para a próxima parte.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b):
b) k = 2pilambda
Vamos substituir omega = 2pi f e y(x, t) = ym cos ( 2pilambda x - 2pi f t ) nas suas relações com y(x, t) = ym cos ( 2pi ( xlambda - f t ) ) e :
Sabemos que:
Substituindo esses valores na equação original:
Podemos fatorar o :
E assim obtivemos a forma alternativa desejada.

Passo 5

Vamos para a parte c):
c) omega = 2pi f
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade f = omega2pi da onda está relacionada com comprimento de onda e frequência por v = lambda f = lambda ( omega2pi ) = lambda omega2pi .
Sabemos que:
xv = 2pi xlambda omega
y(x, t) = ym cos ( omega ( xv - t ) )
Rearranjando para :
Agora, substituímos na equação:
E essa é a forma alternativa pedida.

Passo 6

Por último, vamos resolver a parte d):
d) T = 1f
Sabemos que o período k = 2pilambda é o inverso da frequência omega = 2pi f = 2piT :
y(x, t) = ym cos ( 2pilambda x - 2piT t )
Vamos substituir y(x, t) = ym cos ( 2pi ( xlambda - tT ) ) e novamente:
Substituindo esses valores na equação original:
Fatorando o :
Pronto, chegamos à forma alternativa solicitada.

Resposta

Assim, demonstramos que a equação pode ser reescrita nas formas alternativas apresentadas nos itens a), b), c) e d).

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