Mostre que pode ser escrito nas seguintes formas alternativas:
а)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a equação da onda pode ser reescrita de formas alternativas. Vamos utilizar conceitos de física sobre ondas, como comprimento de onda ( ), frequência ( ), período ( ), velocidade ( ) e as relações entre essas grandezas e os parâmetros e na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas relações importantes entre os parâmetros:
  1. A relação entre o número de onda e o comprimento de onda é:
  2. A relação entre a frequência e o período é:
  3. A relação entre a frequência e a velocidade da onda é:
  4. A relação entre a angular frequência e a frequência é:
Essas relações vão nos ajudar a substituir os termos na equação original para obter as formas alternativas.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) do exercício:
a)
Essa já é a equação original dada no enunciado, então não precisamos fazer nenhuma alteração aqui. Passamos para a próxima parte.

Passo 4

Agora, vamos para a parte b):
b)
Vamos substituir e nas suas relações com e :
Sabemos que:
Substituindo esses valores na equação original:
Podemos fatorar o :
E assim obtivemos a forma alternativa desejada.

Passo 5

Vamos para a parte c):
c)
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da onda está relacionada com comprimento de onda e frequência por .
Sabemos que:
Rearranjando para :
Agora, substituímos na equação:
E essa é a forma alternativa pedida.

Passo 6

Por último, vamos resolver a parte d):
d)
Sabemos que o período é o inverso da frequência :
Vamos substituir e novamente:
Substituindo esses valores na equação original:
Fatorando o :
Pronto, chegamos à forma alternativa solicitada.

Resposta

Assim, demonstramos que a equação pode ser reescrita nas formas alternativas apresentadas nos itens a), b), c) e d).

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a) Mover sua mão mais rapidamente, mas ainda somente para cima e para baixo, uma vez pelo mesmo deslocamento.
b) Mover sua mão mais lentamente, mais ainda somente para cima e para baixo, uma vez pelo mesmo deslocamento.
c) Mover sua mão uma distância maior para cima e para baixo durante o mesmo tempo.
d) Mover sua mão uma distância menor para cima e para baixo durante o mesmo tempo.
e) Usar uma corda mais pesada, do mesmo comprimento e sob a mesma tensão.
f) Usar uma corda mais leve, do mesmo comprimento e sob a mesma tensão.
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Considere uma onda harmônica (onda 1) unidimensional progressiva que se propaga em uma corda descrita pelas seguintes quantidades: Amplitude de 4 metros, comprimento de onda de metros e período de segundos.
a) Qual equação que descreve essa onda?
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d) Forneça ao menos um valor de (diferença de fase entre onda 1 e onda 2) no qual a amplitude da onda resultante seria de ?
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