Em um pesadelo, João está correndo para salvar a própria pele. Um carro do gás persegue-o tocando a sua famosa musiquinha inquietante. O carro se move em direção a João com velocidade vC. Enquanto isso, João, pulsando adrenalina, corre com velocidade vJ. João e o carro se movem em uma mesma reta. Assuma que a velocidade do som (vS) no ar é constante. Usando o efeito doppler para justificar sua resposta, qual a relação entre as velocidades, para que a musiquinha do gás seja percebida por ele de forma
a) mais aguda do que a tonalidade original tocada pelo carro do gás.
b) mais grave do que a tonalidade original tocada pelo carro do gás.
c) exatamente igual à tonalidade original tocada pelo carro do gás.
d) que não ouça nenhum som emitido pelo carro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos o João correndo e um carro do gás que está atrás dele emitindo uma musiquinha. Queremos entender como o som que João ouve muda dependendo das velocidades dele e do carro, usando o Efeito Doppler. O Efeito Doppler é a mudança na frequência de uma onda percebida por um observador que está se movendo em relação à fonte da onda. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do Efeito Doppler e analisar as diferentes situações pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do Efeito Doppler para o som quando tanto a fonte (carro) quanto o observador (João) estão em movimento. A fórmula geral é:
f' = f times vS + vJvS - vC
Onde:
  • é a frequência percebida por João.
  • é a frequência original emitida pelo carro.
  • é a velocidade do som no ar.
  • é a velocidade de João.
  • é a velocidade do carro.
Essa fórmula nos mostra como a frequência do som muda dependendo das velocidades relativas de quem está emitindo e quem está ouvindo.

Passo 3

a) Musiquinha mais aguda que a original
Queremos que a frequência percebida por João seja maior que a frequência original ( vS + vJvS - vC > 1 ). Usando a fórmula:
vS + vJ > vS - vC
Multiplicando ambos os lados por vJ + vC > 0 (assumindo que ):
Simplificando:
Isso sempre é verdade se e forem positivos, ou seja, se ambos estiverem se movendo na direção um do outro. Portanto, para a música ser percebida mais aguda, João deve estar correndo na mesma direção que o carro se aproxima, aumentando a frequência percebida.

Passo 4

b) Musiquinha mais grave que a original
Aqui, queremos que vS + vJvS - vC < 1 . Então:
vS + vJ < vS - vC
Multiplicando ambos os lados por vJ < -vC :
Simplificando:
Isso significa que deve ser negativo e seu valor absoluto maior que . Ou seja, João está correndo na direção oposta ao carro, afastando-se dele. Assim, a frequência percebida pelo João será mais baixa, ou seja, mais grave.

Passo 5

c) Musiquinha com tonalidade exatamente igual à original
Queremos que vS + vJvS - vC = 1 . Então:
vS + vJ = vS - vC
Multiplicando ambos os lados por vJ = -vC :
Simplificando:
Isso significa que a velocidade de João é igual e oposta à do carro. Nesse caso, os efeitos das velocidades se cancelam, e João percebe a música com a tonalidade original.

Passo 6

d) João não ouve nenhum som emitido pelo carro
Para que João não ouça nenhum som, o som emitido pelo carro não deve alcançá-lo. Isso acontece quando João está se afastando do carro a uma velocidade igual ou superior à velocidade do som. Portanto:
vJ >= vS
Assim, se João correr na direção oposta ao carro a uma velocidade igual ou maior que a do som no ar, ele não ouvirá nenhum som emitido pelo carro.

Resposta

a) Para que a musiquinha seja percebida mais aguda, a velocidade de João deve ser positiva na mesma direção do carro.
b) Para que a musiquinha seja percebida mais grave, a velocidade de João deve ser negativa e maior em módulo que a do carro.
c) Para que a tonalidade seja exatamente igual à original, a velocidade de João deve ser igual e oposta à do carro ( ).
d) Para que João não ouça nenhum som emitido pelo carro, sua velocidade deve ser igual ou superior à velocidade do som no ar ( ).

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