Considere as operações . definidas sobre da seguinte maneira:
Prove que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto dos pares de inteiros, com as operações de adição e multiplicação definidas, forma um anel comutativo com unidade. Isso envolve entender conceitos de álgebra, como grupos e anéis. Para resolver, vamos precisar verificar se essas operações satisfazem as propriedades necessárias para um anel comutativo e se existe um elemento identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a operação de adição. A adição está definida como:
Isso significa que somamos cada componente dos pares separadamente. Precisamos verificar se essa operação faz com que seja um grupo abeliano.
Passo 3
Para ser um grupo abeliano, a adição precisa ser associativa, comutativa, ter um elemento neutro e cada elemento deve ter um inverso.
Associativa: Para quaisquer , e em ,
e
Então, a adição é associativa.
Comutativa: Para quaisquer e ,
Então, a adição é comutativa.
Elemento neutro: O par atua como elemento neutro porque:
Inverso: Para cada , o inverso é porque:
Assim, é um grupo abeliano.
Passo 4
Agora, vamos verificar a multiplicação definida por:
Precisamos checar se essa multiplicação é associativa, comutativa, e se ela distribui sobre a adição.
Associativa:
e
Então, a multiplicação é associativa.
Comutativa:
Portanto, a multiplicação é comutativa.
Distribuição sobre a adição:
Para quaisquer , e ,
e
Assim, a multiplicação distribui sobre a adição.
Passo 5
Por último, vamos encontrar o elemento identidade para a multiplicação. Esse elemento deve satisfazer:
Portanto, é o elemento identidade para a multiplicação em .
Resposta
Todas as propriedades necessárias estão satisfeitas, então é realmente um anel comutativo com unidade.