Considere as operações . definidas sobre da seguinte maneira:
Prove que . é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto dos pares de inteiros, com as operações de adição e multiplicação definidas, forma um anel comutativo com unidade. Isso envolve entender conceitos de álgebra, como grupos e anéis. Para resolver, vamos precisar verificar se essas operações satisfazem as propriedades necessárias para um anel comutativo e se existe um elemento identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a operação de adição. A adição está definida como:
Isso significa que somamos cada componente dos pares separadamente. Precisamos verificar se essa operação faz com que seja um grupo abeliano.

Passo 3

Para ser um grupo abeliano, a adição precisa ser associativa, comutativa, ter um elemento neutro e cada elemento deve ter um inverso.
  • Associativa: Para quaisquer , e em ,
e
Então, a adição é associativa.
  • Comutativa: Para quaisquer e ,
Então, a adição é comutativa.
  • Elemento neutro: O par atua como elemento neutro porque:
  • Inverso: Para cada , o inverso é porque:
Assim, é um grupo abeliano.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação definida por:
Precisamos checar se essa multiplicação é associativa, comutativa, e se ela distribui sobre a adição.
  • Associativa:
e
Então, a multiplicação é associativa.
  • Comutativa:
Portanto, a multiplicação é comutativa.
  • Distribuição sobre a adição:
Para quaisquer , e ,
e
Assim, a multiplicação distribui sobre a adição.

Passo 5

Por último, vamos encontrar o elemento identidade para a multiplicação. Esse elemento deve satisfazer:
Portanto, é o elemento identidade para a multiplicação em .

Resposta

Todas as propriedades necessárias estão satisfeitas, então é realmente um anel comutativo com unidade.

Exercícios relacionados

Deduza uma equação da hipérbole a) de focos e e vértices e ;
Determine x para que se tenha , sendo e .
Sejam e . Determine para que se tenha .
Esboce o gráfico das seguintes equações: