Considere as operações +e. definidas sobre Z times Z da seguinte maneira:
(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) e(a, b) cdot(c, d)=(a c b d)
Prove que (Z times Z,+,. ) é um anel comutativo com unidadeé

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto dos pares de inteiros, com as operações de adição e multiplicação definidas, forma um anel comutativo com unidade. Isso envolve entender conceitos de álgebra, como grupos e anéis. Para resolver, vamos precisar verificar se essas operações satisfazem as propriedades necessárias para um anel comutativo e se existe um elemento identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a operação de adição. A adição está definida como:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Isso significa que somamos cada componente dos pares separadamente. Precisamos verificar se essa operação faz com que (Z times Z, +) seja um grupo abeliano.

Passo 3

Para ser um grupo abeliano, a adição precisa ser associativa, comutativa, ter um elemento neutro e cada elemento deve ter um inverso.
  • Associativa: Para quaisquer (a, b), (c, d) e (e, f) em Z times Z,
((a, b) + (c, d)) + (e, f) &= (a + c, b + d) + (e, f) &= (a + c + e, b + d + f)
e
(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)
Então, a adição é associativa.
  • Comutativa: Para quaisquer (a, b) e (c, d),
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)
Então, a adição é comutativa.
  • Elemento neutro: O par (0, 0) atua como elemento neutro porque:
(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
  • Inverso: Para cada (a, b), o inverso é (-a, -b) porque:
(a, b) + (-a, -b) = (a - a, b - b) = (0, 0)
Assim, (Z times Z, +) é um grupo abeliano.

Passo 4

Agora, vamos verificar a multiplicação definida por:
(a, b) cdot (c, d) = (a cdot c, b cdot d)
Precisamos checar se essa multiplicação é associativa, comutativa, e se ela distribui sobre a adição.
  • Associativa:
((a, b) cdot (c, d)) cdot (e, f) = (a c, b d) cdot (e, f) = (a c e, b d f)
e
(a, b) cdot ((c, d) cdot (e, f)) = (a, b) cdot (c e, d f) = (a c e, b d f)
Então, a multiplicação é associativa.
  • Comutativa:
(a, b) cdot (c, d) = (a c, b d) = (c a, d b) = (c, d) cdot (a, b)
Portanto, a multiplicação é comutativa.
  • Distribuição sobre a adição:
Para quaisquer (a, b), (c, d) e (e, f),
(a, b) cdot ((c, d) + (e, f)) = (a, b) cdot (c + e, d + f) = (a(c + e), b(d + f)) = (a c + a e, b d + b f)
e
(a, b) cdot (c, d) + (a, b) cdot (e, f) = (a c, b d) + (a e, b f) = (a c + a e, b d + b f)
Assim, a multiplicação distribui sobre a adição.

Passo 5

Por último, vamos encontrar o elemento identidade para a multiplicação. Esse elemento deve satisfazer:
(a, b) cdot (1,1) = (a cdot 1, b cdot 1) = (a, b)
Portanto, (1, 1) é o elemento identidade para a multiplicação em Z times Z.

Resposta

Todas as propriedades necessárias estão satisfeitas, então (Z times Z, +, cdot) é realmente um anel comutativo com unidade.

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