Esboce o gráfico das seguintes equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da equação dada:
. Aqui, vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica. Vamos precisar reorganizar a equação para entender melhor como ela se comporta e identificar pontos chave para desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar isolar
na equação para facilitar o entendimento. Começamos com:
Podemos fatorar
nos dois primeiros termos:
Agora, passamos o termo
para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por
para isolar
:
Isso nos dá uma função que relaciona
com
. Essa forma é conhecida como uma função racional, que geralmente apresenta assíntotas e pode ter uma forma de hipérbole.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
- Assíntota Vertical: ocorre quando o denominador é zero. Então, temos:
Portanto,
é uma assíntota vertical.
- Assíntota Horizontal: dado que o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo do denominador:
Então,
é uma assíntota horizontal.
Passo 5
Agora, vamos encontrar alguns pontos de interseção com os eixos para ajudar no esboço do gráfico.
- Interseção com o eixo
(quando ):
Então, o gráfico passa pela origem
.
- Interseção com o eixo
(quando ):
Novamente, a interseção é na origem
.
Passo 6
Vamos resumir os elementos que temos para esboçar o gráfico:
- Assíntota vertical em
- Assíntota horizontal em
- Interseção na origem
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico aproximado da função, lembrando que ela terá duas ramas, cada uma se aproximando das assíntotas conforme
vai para
.
Resposta
O gráfico da equa��ão
é uma hipérbole com assíntotas em
e
, passando pela origem
.