Esboce o gráfico das seguintes equações:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da equação dada: . Aqui, vamos usar conceitos de álgebra e geometria analítica. Vamos precisar reorganizar a equação para entender melhor como ela se comporta e identificar pontos chave para desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar na equação para facilitar o entendimento. Começamos com:
Podemos fatorar nos dois primeiros termos:
Agora, passamos o termo para o outro lado:

Passo 3

Agora, vamos dividir ambos os lados da equação por para isolar :
Isso nos dá uma função que relaciona com . Essa forma é conhecida como uma função racional, que geralmente apresenta assíntotas e pode ter uma forma de hipérbole.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
  • Assíntota Vertical: ocorre quando o denominador é zero. Então, temos:
Portanto, é uma assíntota vertical.
  • Assíntota Horizontal: dado que o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo do denominador:
Então, é uma assíntota horizontal.

Passo 5

Agora, vamos encontrar alguns pontos de interseção com os eixos para ajudar no esboço do gráfico.
  • Interseção com o eixo (quando ):
Então, o gráfico passa pela origem .
  • Interseção com o eixo (quando ):
Novamente, a interseção é na origem .

Passo 6

Vamos resumir os elementos que temos para esboçar o gráfico:
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota horizontal em
  • Interseção na origem
Com essas informações, podemos desenhar o gráfico aproximado da função, lembrando que ela terá duas ramas, cada uma se aproximando das assíntotas conforme vai para .

Resposta

O gráfico da equa��ão é uma hipérbole com assíntotas em e , passando pela origem .

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Sejam e . Determine para que se tenha .
Considere as operações . definidas sobre da seguinte maneira:
Prove que . é
Dados os pontos e e os vetores e , obter o vetor tal que:
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