Deduza uma equação da hipérbole a) de focos F(3,0) e F1(-3,0) e vértices A(2,0) e A1(-2,0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em e e dois vértices em e . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a definição de hipérbole, a relação entre os elementos da hipérbole (vértices, focos, eixos), e a fórmula geral da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois ramos e é definida como o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante. Os vértices são os pontos mais próximos entre os ramos da hipérbole.

Passo 3

Observando os focos e , vemos que eles estão alinhados no eixo , ou seja, a hipérbole está orientada horizontalmente. A distância entre os focos é , então .

Passo 4

Os vértices são e . A distância do centro até cada vértice é . O centro da hipérbole está no ponto médio dos focos, que é .

Passo 5

Sabemos que para hipérboles horizontais, a relação entre c^2 = a^2 + b^2 , e é dada por:
Já temos e . Vamos encontrar .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
3^2 = 2^2 + b^2 9 = 4 + b^2 b^2 = 5

Passo 7

Agora que temos x^2a^2 - y^2b^2 = 1 e , podemos escrever a equação da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal com centro em , a equação é:

Passo 8

Substituindo x^24 - y^25 = 1 e :

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^24 - y^25 = 1

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