Deduza uma equação da hipérbole a) de focos e e vértices e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em e e dois vértices em e . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a definição de hipérbole, a relação entre os elementos da hipérbole (vértices, focos, eixos), e a fórmula geral da equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois ramos e é definida como o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante. Os vértices são os pontos mais próximos entre os ramos da hipérbole.
Passo 3
Observando os focos e , vemos que eles estão alinhados no eixo , ou seja, a hipérbole está orientada horizontalmente. A distância entre os focos é , então .
Passo 4
Os vértices são e . A distância do centro até cada vértice é . O centro da hipérbole está no ponto médio dos focos, que é .
Passo 5
Sabemos que para hipérboles horizontais, a relação entre , e é dada por:
Já temos e . Vamos encontrar .
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Agora que temos e , podemos escrever a equação da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal com centro em , a equação é: