Deduza uma equação da hipérbole a) de focos
e
e vértices
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em
e
e dois vértices em
e
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a definição de hipérbole, a relação entre os elementos da hipérbole (vértices, focos, eixos), e a fórmula geral da equação da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois ramos e é definida como o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante. Os vértices são os pontos mais próximos entre os ramos da hipérbole.
Passo 3
Observando os focos
e
, vemos que eles estão alinhados no eixo
, ou seja, a hipérbole está orientada horizontalmente. A distância entre os focos é
, então
.
Passo 4
Os vértices são
e
. A distância do centro até cada vértice é
. O centro da hipérbole está no ponto médio dos focos, que é
.
Passo 5
Sabemos que para hipérboles horizontais, a relação entre
,
e
é dada por:
Já temos
e
. Vamos encontrar
.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal com centro em
, a equação é:
Passo 8
Substituindo
e
:
Resposta
A equação da hipérbole é: