Deduza uma equação da hipérbole a) de focos e e vértices e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole! O enunciado pede para a gente encontrar a equação de uma hipérbole que tem dois focos em e e dois vértices em e . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de geometria analítica, como a definição de hipérbole, a relação entre os elementos da hipérbole (vértices, focos, eixos), e a fórmula geral da equação da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hipérbole tem dois ramos e é definida como o conjunto de pontos onde a diferença das distâncias a dois pontos fixos (os focos) é constante. Os vértices são os pontos mais próximos entre os ramos da hipérbole.

Passo 3

Observando os focos e , vemos que eles estão alinhados no eixo , ou seja, a hipérbole está orientada horizontalmente. A distância entre os focos é , então .

Passo 4

Os vértices são e . A distância do centro até cada vértice é . O centro da hipérbole está no ponto médio dos focos, que é .

Passo 5

Sabemos que para hipérboles horizontais, a relação entre , e é dada por:
Já temos e . Vamos encontrar .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a equação da hipérbole. Para uma hipérbole horizontal com centro em , a equação é:

Passo 8

Substituindo e :

Resposta

A equação da hipérbole é:

Exercícios relacionados

Determine x para que se tenha , sendo e .
Reduza cada uma das equações seguintes à forma canônica e identifique e esboce a quádrica que ela representa:
Considere as operações . definidas sobre da seguinte maneira:
Prove que . é
Sejam e . Determine para que se tenha .