Considere um operador linear T: R^3 R^3 com os autoespaços V1=[lx y z] ; x=y e V-2=[lx y z] ; y=z=0, associados ao autovalor lambda=1 e lambda=-2, nesta ordem
b) Obtenha a transformação T e em seguida calcule T[c1 -2 1]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear sobre operadores lineares e autovalores. O problema nos dá um operador linear x y z com dois autoespaços:
  • x y z associado ao autovalor 1 -2 1
  • associado ao autovalor
Nosso objetivo é:
a) Encontrar a transformação
b) Calcular

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que são autoespaços e autovalores. Um autoespaço de um operador linear para um autovalor é o conjunto de todos os vetores tais que . Ou seja, aplicar em qualquer vetor do autoespaço resulta em uma multiplicação desse vetor por .

Passo 3

Vamos identificar uma base para x x z formada pelos vetores dos autoespaços 1 1 0 e 0 0 1 .
Para x 0 0 ( 1 0 0 ):
A condição implica que podemos expressar os vetores como . Podemos escolher dois vetores independentes:
Para ( ):
A condição implica que os vetores são da forma . Podemos escolher:

Passo 4

Agora, temos uma base de composta por . Nessa base, o operador atua da seguinte forma:
  • (porque está em )
  • (porque também está em )
  • (porque está em )

Passo 5

Para encontrar a matriz de T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 na base , notamos que age diagonalmente nos vetores da base:

Passo 6

Agora, para calcular 1 -2 1 , precisamos expressar o vetor 1 -2 1 na base c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 1 -2 1 .
Vamos resolver o sistema:
c1 1 1 0 + c2 0 0 1 + c3 1 0 0 = 1 -2 1
Substituindo os vetores:
c1 + c3 = 1 c1 = -2 c2 = 1
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
  • De , substituímos em :

Passo 7

Agora, aplicamos a transformação T( 1 -2 1 ) = c1 T(v1) + c2 T(v2) + c3 T(v3) = (-2) 1 1 0 + 1 0 0 1 + 3 -2 cdot 1 -2 cdot 0 -2 cdot 0 usando os coeficientes encontrados:
= -2 -2 0 + 0 0 1 + -6 0 0 = -8 -2 1
Calculando:

Resposta

A transformação T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 é a matriz
T( 1 -2 1 ) = -8 -2 1
e

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