Considere um operador linear com os autoespaços V-2=[lx y z] ; y=z=0, associados ao autovalor lambda=1 e lambda=-2, nesta ordem
b) Obtenha a transformação T e em seguida calcule T[c1 -2 1]
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra linear sobre operadores lineares e autovalores. O problema nos dá um operador linear x y z com dois autoespaços:
x y z associado ao autovalor 1 -2 1
associado ao autovalor
Nosso objetivo é:
a) Encontrar a transformação
b) Calcular
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que são autoespaços e autovalores. Um autoespaço de um operador linear para um autovalor é o conjunto de todos os vetores tais que . Ou seja, aplicar em qualquer vetor do autoespaço resulta em uma multiplicação desse vetor por .
Passo 3
Vamos identificar uma base para x x z formada pelos vetores dos autoespaços 1 1 0 e 0 0 1 .
Para x 0 0 ( 1 0 0 ):
A condição implica que podemos expressar os vetores como . Podemos escolher dois vetores independentes:
Para ():
A condição implica que os vetores são da forma . Podemos escolher:
Passo 4
Agora, temos uma base de composta por . Nessa base, o operador atua da seguinte forma:
(porque está em )
(porque também está em )
(porque está em )
Passo 5
Para encontrar a matriz de T = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2 na base , notamos que age diagonalmente nos vetores da base:
Passo 6
Agora, para calcular 1 -2 1 , precisamos expressar o vetor 1 -2 1 na base c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 1 -2 1 .