considere o operador r(lx y z)=(ccc2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2)(lx y z)
a) Calcule o(s) autovalore(s) de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um operador linear definido por uma matriz e pede para calcular os autovalores desse operador. Isso está relacionado com a matéria de Álgebra Linear, mais especificamente com o conceito de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores. Um autovalor de uma matriz Av = lambdav é um número det(A - lambda I) = 0 tal que existe um vetor não nulo que satisfaz a equação:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.

Passo 3

Vamos aplicar isso à matriz fornecida:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
Primeiro, subtraímos A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda da diagonal principal para obter :

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 0
Vamos expandir o determinante:
det 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda = 0

Passo 5

Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(2 - lambda)(2 - lambda) - (-1)(-1)] - (-1)[(-1)(2 - lambda) - (-1)(-1)] + (-1)[(-1)(-1) - (2 - lambda)(-1)]
Vamos simplificar cada termo:
= (2 - lambda)[(2 - lambda)^2 - 1] + 1[-(2 - lambda) - 1] - 1[1 + (2 - lambda)]

Passo 6

Simplificando passo a passo:
(2 - lambda)[(4 - 4lambda + lambda^2) - 1] = (2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2)
1[-(2 - lambda) - 1] = -2 + lambda - 1 = lambda - 3
-1[1 + (2 - lambda)] = -1(3 - lambda) = lambda - 3
Agora, somamos tudo:
(2 - lambda)(3 - 4lambda + lambda^2) + (lambda - 3) + (lambda - 3) = 0

Passo 7

Expandindo o primeiro termo:
(2)(3) + (2)(-4lambda) + (2)(lambda^2) - lambda(3) + lambda(4lambda) - lambda(lambda^2) + lambda - 3 + lambda - 3 = 0
Simplificando:
6 - 8lambda + 2lambda^2 - 3lambda + 4lambda^2 - lambda^3 + 2lambda - 6 = 0
Combinando termos semelhantes:
- lambda^3 + 6lambda^2 - 9lambda = 0

Passo 8

Fatorando a equação:
- lambda(lambda^2 - 6lambda + 9) = 0
Isso nos dá:
lambda = 0 ou lambda^2 - 6lambda + 9 = 0

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 6lambda + 9 = 0
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 6 pm raiz36 - 362 = 6 pm 02 = 3
Então, temos com multiplicidade 2.

Resposta

Os autovalores de são e .

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