considere o operador
a) Calcule o(s) autovalore(s) de T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um operador linear definido por uma matriz e pede para calcular os autovalores desse operador. Isso está relacionado com a matéria de Álgebra Linear, mais especificamente com o conceito de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores. Um autovalor de uma matriz Av = lambdav é um número det(A - lambda I) = 0 tal que existe um vetor não nulo que satisfaz a equação:
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante da matriz.
Passo 3
Vamos aplicar isso à matriz fornecida:
A = 2 & -1 & -1 -1 & 2 & -1 -1 & -1 & 2
Primeiro, subtraímos A - lambda I = 2 - lambda & -1 & -1 -1 & 2 - lambda & -1 -1 & -1 & 2 - lambda da diagonal principal para obter :
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz: