Encontre a matriz das seguintes transformações lineares.
c) T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+2 z) relativa as bases alpha=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e beta=(1,3),(1,4).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a matriz de uma transformação linear T(x, y, z) = (2x + y - z, 3x - 2y + 2z) que transforma vetores de para . A transformação está definida por:
E as bases dadas são:
  • Base para
  • Base para
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, matrizes de transformação e mudança de base para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a matriz da transformação relativa às bases e . Basicamente, queremos representar de uma forma que mude os vetores da base de para a base em .
Para isso, precisamos encontrar como cada vetor da base é transformado por e então expressar esses resultados na base .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(v1) = 2(1) + 1(1) - 1(1) = 2 + 1 - 1 = 2 a cada vetor da base T(v1) = (2, 3(1) - 2(1) + 2(1)) = (2, 3 - 2 + 2) = (2, 3) :
  1. Para T(v2) = 2(1) + 1(1) - 1(0) = 2 + 1 - 0 = 3 :
T(v2) = (3, 3(1) - 2(1) + 2(0)) = (3, 3 - 2 + 0) = (3, 1)
T(v3) = 2(1) + 1(0) - 1(0) = 2 + 0 - 0 = 2
  1. Para T(v3) = (2, 3(1) - 2(0) + 2(0)) = (2, 3 - 0 + 0) = (2, 3) :
  1. Para :

Passo 4

Agora, temos as imagens dos vetores da base T(v1) = (2, 3) sob a transformação T(v2) = (3, 1) :
T(v3) = (2, 3)
T(vi) = a(1,3) + b(1,4)
Precisamos expressar cada um desses vetores na base . Isso significa que para cada vetor , vamos encontrar coeficientes e tais que:

Passo 5

Vamos resolver para cada (2, 3) = a(1,3) + b(1,4) :
  1. Para Rightarrow 2 = a + b :
Rightarrow 3 = 3a + 4b
3 = 3a + 4b
6 = 3a + 3b
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação multiplicada por 3 da segunda:
3 - 6 = (3a + 4b) - (3a + 3b)
-3 = b
(3, 1) = a(1,3) + b(1,4)
Rightarrow 3 = a + b
Então, Rightarrow 1 = 3a + 4b
Então, 1 = 3(3 - b) + 4b na base 1 = 9 - 3b + 4b é 1 = 9 + b
  1. Para b = 1 - 9 = -8 :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
Substituindo na segunda:
Então,
Então, na base é
  1. Para :
    Esse é igual ao , então já sabemos que na base é

Passo 6

Agora, podemos construir a matriz da transformação [T]alpha^beta = 5 & 11 & 5 -3 & -8 & -3 relativa às bases e . Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes encontrados nas etapas anteriores para cada vetor da base .
Então, teremos:

Resposta

A matriz da transformação linear [T]alpha^beta = 5 & 11 & 5 -3 & -8 & -3 relativa às bases e é:

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