Encontre a matriz das seguintes transformações lineares.
c)
relativa as bases
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a matriz de uma transformação linear
que transforma vetores de
para
. A transformação está definida por:
E as bases dadas são:
- Base
para - Base
para
Vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, matrizes de transformação e mudança de base para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a matriz da transformação
relativa às bases
e
. Basicamente, queremos representar
de uma forma que mude os vetores da base
de
para a base
em
.
Para isso, precisamos encontrar como cada vetor da base
é transformado por
e então expressar esses resultados na base
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
a cada vetor da base
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, temos as imagens dos vetores da base
sob a transformação
:
Precisamos expressar cada um desses vetores na base
. Isso significa que para cada vetor
, vamos encontrar coeficientes
e
tais que:
Passo 5
Vamos resolver para cada
:
- Para
:
Resolvendo o sistema:
Subtraindo a primeira equação multiplicada por 3 da segunda:
Subtraindo a primeira equação multiplicada por 3 da segunda:
Então,
Então,
na base
é
- Para
:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
Substituindo na segunda:
Da primeira equação,
Substituindo na segunda:
Então,
Então,
na base
é
- Para
:
Esse é igual ao, então já sabemos que na base é
Passo 6
Agora, podemos construir a matriz da transformação
relativa às bases
e
. Cada coluna dessa matriz será composta pelos coeficientes encontrados nas etapas anteriores para cada vetor da base
.
Então, teremos:
Resposta
A matriz da transformação linear
relativa às bases
e
é: